ដោះស្រាយ 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0.5+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.414213562i$$

ជំហានដោយការប្រើរូបមន្ដកាដ្រាទីក

គ្រប់សមីការរដែលមានទម្រង់ ax^{2}+bx+c=0 អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការប្រើរូបមន្តកាដ្រាទីក៖ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។ រូបមន្តកាដ្រាទីកផ្ដល់នូវចម្លើយពីរ ចម្លើយមួយគឺនៅពេល ± ជាផលបូក និងចម្លើយមួយទៀតនៅពេលវាជាផលដក។

$$4x^{2}+4x+9=0$$

សមីការរនេះមានទម្រង់ស្ដង់ដារ៖ ax^{2}+bx+c=0។ ជំនួស 4 សម្រាប់ a, 4 សម្រាប់ b និង 9 សម្រាប់ c នៅក្នុងរូបមន្តកាដ្រាទីក, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

ការ៉េ 4។

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

គុណ -4 ដង 4។

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

គុណ -16 ដង 9។

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

បូក 16 ជាមួយ -144។

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

យកឬសការ៉េនៃ -128។

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

គុណ 2 ដង 4។

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាបូក។ បូក -4 ជាមួយ 8i\sqrt{2}។

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

ចែក -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} នឹង 8។

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាដក។ ដក 8i\sqrt{2} ពី -4។

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

ចែក -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} នឹង 8។

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

សមីការរឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

ជំហានសម្រាប់បំពេញការ៉េ

សមីការរកាដ្រាទីកដូចសមីការរមួយនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយ​ការបំពេញការ៉េ សមីការរត្រូវតែដំបូងស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ x^{2}+bx=c។

$$4x^{2}+4x+9=0$$

ដក 9 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

ការដក 9 ពីខ្លួនឯងនៅសល់ 0។

$$4x^{2}+4x=-9$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

ការចែកនឹង 4 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង 4 ឡើងវិញ។

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

ចែក 4 នឹង 4។

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

ចែក 1 ដែលជាមេគុណនៃតួ x នឹង 2 ដើម្បីបាន \frac{1}{2}។ បន្ទាប់មក​បូកការ៉េនៃ \frac{1}{2} ជាមួយ​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។ ជំហាននេះធ្វើឲ្យជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការរក្លាយជាការេប្រាកដមួយ។

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

លើក \frac{1}{2} ជាការ៉េដោយលើកជាការ៉េទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

បូក -\frac{9}{4} ជាមួយ \frac{1}{4} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

ដាក់ជាកត្តា x^{2}+x+\frac{1}{4} ។ ជាទូទៅ នៅពេល x^{2}+bx+c គឺជាការ៉េប្រាកដ វាតែងតែអាចត្រូវបានដាក់ជាកត្តាជា \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}។

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

យក​ឬសការ៉េនៃជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការ។

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

ដក \frac{1}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$