ដោះស្រាយ 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

ជំហានដោយការប្រើរូបមន្ដកាដ្រាទីក

គ្រប់សមីការរដែលមានទម្រង់ ax^{2}+bx+c=0 អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការប្រើរូបមន្តកាដ្រាទីក៖ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។ រូបមន្តកាដ្រាទីកផ្ដល់នូវចម្លើយពីរ ចម្លើយមួយគឺនៅពេល ± ជាផលបូក និងចម្លើយមួយទៀតនៅពេលវាជាផលដក។

$$3x^{2}+2x+1=0$$

សមីការរនេះមានទម្រង់ស្ដង់ដារ៖ ax^{2}+bx+c=0។ ជំនួស 3 សម្រាប់ a, 2 សម្រាប់ b និង 1 សម្រាប់ c នៅក្នុងរូបមន្តកាដ្រាទីក, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

ការ៉េ 2។

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

គុណ -4 ដង 3។

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

បូក 4 ជាមួយ -12។

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

យកឬសការ៉េនៃ -8។

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

គុណ 2 ដង 3។

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាបូក។ បូក -2 ជាមួយ 2i\sqrt{2}។

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

ចែក -2+2i\sqrt{2} នឹង 6។

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាដក។ ដក 2i\sqrt{2} ពី -2។

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

ចែក -2-2i\sqrt{2} នឹង 6។

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

សមីការរឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

ជំហានសម្រាប់បំពេញការ៉េ

សមីការរកាដ្រាទីកដូចសមីការរមួយនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយ​ការបំពេញការ៉េ សមីការរត្រូវតែដំបូងស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ x^{2}+bx=c។

$$3x^{2}+2x+1=0$$

ដក 1 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

ការដក 1 ពីខ្លួនឯងនៅសល់ 0។

$$3x^{2}+2x=-1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

ការចែកនឹង 3 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង 3 ឡើងវិញ។

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

ចែក \frac{2}{3} ដែលជាមេគុណនៃតួ x នឹង 2 ដើម្បីបាន \frac{1}{3}។ បន្ទាប់មក​បូកការ៉េនៃ \frac{1}{3} ជាមួយ​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។ ជំហាននេះធ្វើឲ្យជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការរក្លាយជាការេប្រាកដមួយ។

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

លើក \frac{1}{3} ជាការ៉េដោយលើកជាការ៉េទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

បូក -\frac{1}{3} ជាមួយ \frac{1}{9} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

ដាក់ជាកត្តា x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9} ។ ជាទូទៅ នៅពេល x^{2}+bx+c គឺជាការ៉េប្រាកដ វាតែងតែអាចត្រូវបានដាក់ជាកត្តាជា \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}។

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

យក​ឬសការ៉េនៃជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការ។

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

ដក \frac{1}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$