ដោះស្រាយ 12r^2-11r-15=0

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

ជំហានដែលប្រើការដាក់ជាកត្តាដោយ​ការដាក់ជាក្រុម

ដើម្បីដោះស្រាយ​សមីការ សូមដាក់ផ្នែកខាងឆ្វេង​ដាក់ជាកត្តា​ដោយការដាក់ជាក្រុម។ ដំបូង ផ្នែកខាងឆ្វេងត្រូវតែសរសេរឡើងវិញជា 12r^{2}+ar+br-15។ ដើម្បីរក a និង b សូមបង្កើត​ប្រព័ន្ធដែល​ត្រូវដោះស្រាយ។

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ដោយសារ ab ជាចំនួនអវិជ្ជមាន a និង b មានសញ្ញាផ្ទុយគ្នា។ ដោយសារ a+b ជាចំនួនអវិជ្ជមាន ចំនួនអវិជ្ជមានមានតម្លៃដាច់ខាតធំជាង​ចំនួនវិជ្ជមាន។ រាយ​ឈ្មោះគូ​ទាំងអស់ដែល​ផ្ដល់នូវផលគុណ -180។

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

គណនី​ផល​បូកសម្រាប់គូនីមួយៗ។

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

ចម្លើយគឺជា​គូ ដែលផ្ដល់​នូវផលបូក -11 ។

$$a=-20 b=9$$

សរសេរ 12r^{2}-11r-15 ឡើងវិញជា \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)។

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

ដាក់ជាកត្តា 4r នៅក្នុងក្រុមទីមួយ និង 3 ក្រុមទីពីរចេញ។

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

ដាក់ជាកត្តាលក្ខណៈធម្មតា 3r-5 ដោយប្រើលក្ខណៈបំបែក។

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

ដើម្បីរកចម្លើយសមីការរ សូមដោះស្រាយ 3r-5=0 និង 4r+3=0។

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

ជំហានដោយការប្រើរូបមន្ដកាដ្រាទីក

គ្រប់សមីការរដែលមានទម្រង់ ax^{2}+bx+c=0 អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការប្រើរូបមន្តកាដ្រាទីក៖ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។ រូបមន្តកាដ្រាទីកផ្ដល់នូវចម្លើយពីរ ចម្លើយមួយគឺនៅពេល ± ជាផលបូក និងចម្លើយមួយទៀតនៅពេលវាជាផលដក។

$$12r^{2}-11r-15=0$$

សមីការរនេះមានទម្រង់ស្ដង់ដារ៖ ax^{2}+bx+c=0។ ជំនួស 12 សម្រាប់ a, -11 សម្រាប់ b និង -15 សម្រាប់ c នៅក្នុងរូបមន្តកាដ្រាទីក, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

ការ៉េ -11។

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

គុណ -4 ដង 12។

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

គុណ -48 ដង -15។

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

បូក 121 ជាមួយ 720។

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

យកឬសការ៉េនៃ 841។

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

ភាពផ្ទុយគ្នានៃ -11 គឺ 11។

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

គុណ 2 ដង 12។

$$r=\frac{11±29}{24}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ r=\frac{11±29}{24} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាបូក។ បូក 11 ជាមួយ 29។

$$r=\frac{40}{24}$$

កាត់បន្ថយប្រភាគ \frac{40}{24} ទៅតួដែលតូចបំផុតដោយ​ដក និងលុបចេញ 8។

$$r=\frac{5}{3}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ r=\frac{11±29}{24} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាដក។ ដក 29 ពី 11។

$$r=-\frac{18}{24}$$

កាត់បន្ថយប្រភាគ \frac{-18}{24} ទៅតួដែលតូចបំផុតដោយ​ដក និងលុបចេញ 6។

$$r=-\frac{3}{4}$$

សមីការរឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

ជំហានសម្រាប់បំពេញការ៉េ

សមីការរកាដ្រាទីកដូចសមីការរមួយនេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយ​ការបំពេញការ៉េ សមីការរត្រូវតែដំបូងស្ថិតនៅក្នុងទម្រង់ x^{2}+bx=c។

$$12r^{2}-11r-15=0$$

បូក 15 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

ការដក -15 ពីខ្លួនឯងនៅសល់ 0។

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

ដក -15 ពី 0។

$$12r^{2}-11r=15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 12។

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

ការចែកនឹង 12 មិនធ្វើប្រមាណវិធីគុណនឹង 12 ឡើងវិញ។

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

កាត់បន្ថយប្រភាគ \frac{15}{12} ទៅតួដែលតូចបំផុតដោយ​ដក និងលុបចេញ 3។

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

ចែក -\frac{11}{12} ដែលជាមេគុណនៃតួ x នឹង 2 ដើម្បីបាន -\frac{11}{24}។ បន្ទាប់មក​បូកការ៉េនៃ -\frac{11}{24} ជាមួយ​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។ ជំហាននេះធ្វើឲ្យជ្រុងខាងឆ្វេងនៃសមីការរក្លាយជាការេប្រាកដមួយ។

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

លើក -\frac{11}{24} ជាការ៉េដោយលើកជាការ៉េទាំងភាគយក និងភាគបែងនៃប្រភាគ។

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

បូក \frac{5}{4} ជាមួយ \frac{121}{576} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

ដាក់ជាកត្តា r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576} ។ ជាទូទៅ នៅពេល x^{2}+bx+c គឺជាការ៉េប្រាកដ វាតែងតែអាចត្រូវបានដាក់ជាកត្តាជា \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}។

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

យក​ឬសការ៉េនៃជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការ។

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

បូក \frac{11}{24} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$