ដោះស្រាយ {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង 1+y។

$$x+2y=3+3y+1$$

បូក 3 និង 1 ដើម្បីបាន 4។

$$x+2y=4+3y$$

ដក 3y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$x+2y-3y=4$$

បន្សំ 2y និង -3y ដើម្បីបាន -y។

$$x-y=4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង 1-y។

$$8-y=2-2y+3x$$

បន្ថែម 2y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$8-y+2y=2+3x$$

បន្សំ -y និង 2y ដើម្បីបាន y។

$$8+y=2+3x$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$8+y-3x=2$$

ដក 8 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-3x=2-8$$

ដក​ 8 ពី 2 ដើម្បីបាន -6។

$$y-3x=-6$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$x-y=4$$

បូក y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=y+4$$

ជំនួស y+4 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -3x+y=-6។

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

គុណ -3 ដង y+4។

$$-3y-12+y=-6$$

បូក -3y ជាមួយ y។

$$-2y-12=-6$$

បូក 12 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-2y=6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -2។

$$y=-3$$

ជំនួស -3 សម្រាប់ y ក្នុង x=y+4។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-3+4$$

បូក 4 ជាមួយ -3។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=-3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង 1+y។

$$x+2y=3+3y+1$$

បូក 3 និង 1 ដើម្បីបាន 4។

$$x+2y=4+3y$$

ដក 3y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$x+2y-3y=4$$

បន្សំ 2y និង -3y ដើម្បីបាន -y។

$$x-y=4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង 1-y។

$$8-y=2-2y+3x$$

បន្ថែម 2y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$8-y+2y=2+3x$$

បន្សំ -y និង 2y ដើម្បីបាន y។

$$8+y=2+3x$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$8+y-3x=2$$

ដក 8 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-3x=2-8$$

ដក​ 8 ពី 2 ដើម្បីបាន -6។

$$y-3x=-6$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=1,y=-3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 3 នឹង 1+y។

$$x+2y=3+3y+1$$

បូក 3 និង 1 ដើម្បីបាន 4។

$$x+2y=4+3y$$

ដក 3y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$x+2y-3y=4$$

បន្សំ 2y និង -3y ដើម្បីបាន -y។

$$x-y=4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 2 នឹង 1-y។

$$8-y=2-2y+3x$$

បន្ថែម 2y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$8-y+2y=2+3x$$

បន្សំ -y និង 2y ដើម្បីបាន y។

$$8+y=2+3x$$

ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$8+y-3x=2$$

ដក 8 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-3x=2-8$$

ដក​ 8 ពី 2 ដើម្បីបាន -6។

$$y-3x=-6$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ x និង -3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 1។

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

ដក -3x+y=-6 ពី -3x+3y=-12 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

បូក -3x ជាមួយ 3x។ ការលុបតួ -3x និង 3x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$3y-y=-12+6$$

បូក 3y ជាមួយ -y។

$$2y=-12+6$$

បូក -12 ជាមួយ 6។

$$2y=-6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$y=-3$$

ជំនួស -3 សម្រាប់ y ក្នុង -3x+y=-6។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-3x-3=-6$$

បូក 3 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-3x=-3$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -3។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=-3$$