ដោះស្រាយ {l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m}

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

បូក ny ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង m។

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

គុណ \frac{1}{m} ដង ny+m^{2}+n^{2}។

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

ជំនួស \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x+y=2m។

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

បូក \frac{ny}{m} ជាមួយ y។

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

ដក m+\frac{n^{2}}{m} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង \frac{m+n}{m}។

$$y=m-n$$

ជំនួស m-n សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

គុណ \frac{n}{m} ដង m-n។

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

បូក m+\frac{n^{2}}{m} ជាមួយ \frac{n\left(m-n\right)}{m}។

$$x=m+n$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=m+n,y=m-n$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=m+n,y=m-n$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ mx និង x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ m។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

ដក mx+my=2m^{2} ពី mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

បូក mx ជាមួយ -mx។ ការលុបតួ mx និង -mx បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

បូក -ny ជាមួយ -my។

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

បូក m^{2}+n^{2} ជាមួយ -2m^{2}។

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -m-n។

$$y=m-n$$

ជំនួស m-n សម្រាប់ y ក្នុង x+y=2m។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x+m-n=2m$$

ដក m-n ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=m+n$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=m+n,y=m-n$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

បូក ny ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង m។

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

គុណ \frac{1}{m} ដង ny+m^{2}+n^{2}។

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

ជំនួស \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x+y=2m។

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

បូក \frac{ny}{m} ជាមួយ y។

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

ដក m+\frac{n^{2}}{m} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង \frac{m+n}{m}។

$$y=m-n$$

ជំនួស m-n សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

គុណ \frac{n}{m} ដង m-n។

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

បូក m+\frac{n^{2}}{m} ជាមួយ \frac{n\left(m-n\right)}{m}។

$$x=m+n$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=m+n,y=m-n$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=m+n,y=m-n$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ mx និង x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ m។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

ដក mx+my=2m^{2} ពី mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

បូក mx ជាមួយ -mx។ ការលុបតួ mx និង -mx បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

បូក -ny ជាមួយ -my។

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

បូក m^{2}+n^{2} ជាមួយ -2m^{2}។

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -m-n។

$$y=m-n$$

ជំនួស m-n សម្រាប់ y ក្នុង x+y=2m។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x+m-n=2m$$

ដក m-n ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=m+n$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=m+n,y=m-n$$