ដោះស្រាយ {l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8}

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fx-y=7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fy-9x=8$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$fx-y=7$$

បូក y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$fx=y+7$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង f។

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

គុណ \frac{1}{f} ដង y+7។

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

ជំនួស \frac{7+y}{f} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -9x+fy=8។

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

គុណ -9 ដង \frac{7+y}{f}។

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

បូក -\frac{9y}{f} ជាមួយ fy។

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

បូក \frac{63}{f} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង f-\frac{9}{f}។

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ជំនួស \frac{63+8f}{f^{2}-9} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

គុណ \frac{1}{f} ដង \frac{63+8f}{f^{2}-9}។

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

បូក \frac{7}{f} ជាមួយ \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}។

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fx-y=7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fy-9x=8$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fx-y=7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fy-9x=8$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ fx និង -9x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -9 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ f។

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

ដក \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ពី \left(-9f\right)x+9y=-63 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

បូក -9fx ជាមួយ 9fx។ ការលុបតួ -9fx និង 9fx បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

បូក 9y ជាមួយ -f^{2}y។

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

បូក -63 ជាមួយ -8f។

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -f^{2}+9។

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ជំនួស -\frac{63+8f}{9-f^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង -9x+fy=8។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

គុណ f ដង -\frac{63+8f}{9-f^{2}}។

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

បូក \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -9។

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fx-y=7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fy-9x=8$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$fx-y=7$$

បូក y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$fx=y+7$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង f។

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

គុណ \frac{1}{f} ដង y+7។

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

ជំនួស \frac{7+y}{f} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -9x+fy=8។

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

គុណ -9 ដង \frac{7+y}{f}។

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

បូក -\frac{9y}{f} ជាមួយ fy។

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

បូក \frac{63}{f} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង f-\frac{9}{f}។

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ជំនួស \frac{63+8f}{f^{2}-9} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

គុណ \frac{1}{f} ដង \frac{63+8f}{f^{2}-9}។

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

បូក \frac{7}{f} ជាមួយ \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)}។

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fx-y=7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fy-9x=8$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fx-y=7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 9x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$fy-9x=8$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ fx និង -9x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -9 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ f។

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

ដក \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f ពី \left(-9f\right)x+9y=-63 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

បូក -9fx ជាមួយ 9fx។ ការលុបតួ -9fx និង 9fx បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

បូក 9y ជាមួយ -f^{2}y។

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

បូក -63 ជាមួយ -8f។

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -f^{2}+9។

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

ជំនួស -\frac{63+8f}{9-f^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង -9x+fy=8។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

គុណ f ដង -\frac{63+8f}{9-f^{2}}។

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

បូក \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -9។

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$