ដោះស្រាយ {l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F}

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$Ax+By=C$$

ដក By ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង A។

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

គុណ \frac{1}{A} ដង -By+C។

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

ជំនួស \frac{-By+C}{A} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត Dx+Cy=F។

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

គុណ D ដង \frac{-By+C}{A}។

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

បូក -\frac{DBy}{A} ជាមួយ Cy។

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

ដក \frac{DC}{A} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង C-\frac{DB}{A}។

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

ជំនួស \frac{FA-DC}{CA-DB} សម្រាប់ y ក្នុង x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

គុណ -\frac{B}{A} ដង \frac{FA-DC}{CA-DB}។

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

បូក \frac{C}{A} ជាមួយ -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)}។

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ Ax និង Dx ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ D និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ A។

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

ដក ADx+ACy=AF ពី ADx+BDy=CD ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

បូក DAx ជាមួយ -DAx។ ការលុបតួ DAx និង -DAx បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

បូក DBy ជាមួយ -ACy។

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង DB-AC។

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

ជំនួស \frac{DC-AF}{DB-AC} សម្រាប់ y ក្នុង Dx+Cy=F។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

គុណ C ដង \frac{DC-AF}{DB-AC}។

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

ដក \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង D។

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$