ដោះស្រាយ {l}{9x+13y=9}{2x+y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$9x+13y=9$$

ដក 13y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$9x=-13y+9$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 9។

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

គុណ \frac{1}{9} ដង -13y+9។

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

ជំនួស -\frac{13y}{9}+1 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+y=11។

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

គុណ 2 ដង -\frac{13y}{9}+1។

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

បូក -\frac{26y}{9} ជាមួយ y។

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

ដក 2 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{17}{9}y=9$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{17}{9} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{81}{17}$$

ជំនួស -\frac{81}{17} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{13}{9}y+1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

គុណ -\frac{13}{9} ដង -\frac{81}{17} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{117}{17}+1$$

បូក 1 ជាមួយ \frac{117}{17}។

$$x=\frac{134}{17}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 9x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 9។

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

ដក 18x+9y=99 ពី 18x+26y=18 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

បូក 18x ជាមួយ -18x។ ការលុបតួ 18x និង -18x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$26y-9y=18-99$$

បូក 26y ជាមួយ -9y។

$$17y=18-99$$

បូក 18 ជាមួយ -99។

$$17y=-81$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 17។

$$y=-\frac{81}{17}$$

ជំនួស -\frac{81}{17} សម្រាប់ y ក្នុង 2x+y=11។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

បូក \frac{81}{17} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=\frac{268}{17}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{134}{17}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$