ដោះស្រាយ {l}{8x+y=67}{4x+7y=51}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + y = 67 } \\ { 4 x + 7 y = 51 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{209}{26} = 8\frac{1}{26} \approx 8.038461538$$

$$y = \frac{35}{13} = 2\frac{9}{13} \approx 2.692307692$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$8x+y=67$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$8x=-y+67$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 8។

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+67\right)$$

គុណ \frac{1}{8} ដង -y+67។

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}$$

ជំនួស \frac{-y+67}{8} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 4x+7y=51។

$$4\left(-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}\right)+7y=51$$

គុណ 4 ដង \frac{-y+67}{8}។

$$-\frac{1}{2}y+\frac{67}{2}+7y=51$$

បូក -\frac{y}{2} ជាមួយ 7y។

$$\frac{13}{2}y+\frac{67}{2}=51$$

ដក \frac{67}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{13}{2}y=\frac{35}{2}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{13}{2} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{35}{13}$$

ជំនួស \frac{35}{13} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{8}y+\frac{67}{8}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{8}\times \frac{35}{13}+\frac{67}{8}$$

គុណ -\frac{1}{8} ដង \frac{35}{13} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{35}{104}+\frac{67}{8}$$

បូក \frac{67}{8} ជាមួយ -\frac{35}{104} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{209}{26}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{8\times 7-4}&-\frac{1}{8\times 7-4}\\-\frac{4}{8\times 7-4}&\frac{8}{8\times 7-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}&-\frac{1}{52}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}67\\51\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}\times 67-\frac{1}{52}\times 51\\-\frac{1}{13}\times 67+\frac{2}{13}\times 51\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209}{26}\\\frac{35}{13}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$8x+y=67,4x+7y=51$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 8x និង 4x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 4 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 8។

$$4\times 8x+4y=4\times 67,8\times 4x+8\times 7y=8\times 51$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$32x+4y=268,32x+56y=408$$

ដក 32x+56y=408 ពី 32x+4y=268 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$32x-32x+4y-56y=268-408$$

បូក 32x ជាមួយ -32x។ ការលុបតួ 32x និង -32x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$4y-56y=268-408$$

បូក 4y ជាមួយ -56y។

$$-52y=268-408$$

បូក 268 ជាមួយ -408។

$$-52y=-140$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -52។

$$y=\frac{35}{13}$$

ជំនួស \frac{35}{13} សម្រាប់ y ក្នុង 4x+7y=51។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$4x+7\times \frac{35}{13}=51$$

គុណ 7 ដង \frac{35}{13}។

$$4x+\frac{245}{13}=51$$

ដក \frac{245}{13} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=\frac{418}{13}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{209}{26}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{209}{26},y=\frac{35}{13}$$