ដោះស្រាយ {l}{8x+7y=29}{11x+5y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x + 7 y = 29 } \\ { 11 x + 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = -\frac{180}{37} = -4\frac{32}{37} \approx -4.864864865$$

$$y = \frac{359}{37} = 9\frac{26}{37} \approx 9.702702703$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$8x+7y=29,11x+5y=-5$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$8x+7y=29$$

ដក 7y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$8x=-7y+29$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 8។

$$x=\frac{1}{8}\left(-7y+29\right)$$

គុណ \frac{1}{8} ដង -7y+29។

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{29}{8}$$

ជំនួស \frac{-7y+29}{8} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 11x+5y=-5។

$$11\left(-\frac{7}{8}y+\frac{29}{8}\right)+5y=-5$$

គុណ 11 ដង \frac{-7y+29}{8}។

$$-\frac{77}{8}y+\frac{319}{8}+5y=-5$$

បូក -\frac{77y}{8} ជាមួយ 5y។

$$-\frac{37}{8}y+\frac{319}{8}=-5$$

ដក \frac{319}{8} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{37}{8}y=-\frac{359}{8}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{37}{8} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{359}{37}$$

ជំនួស \frac{359}{37} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{7}{8}y+\frac{29}{8}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{7}{8}\times \frac{359}{37}+\frac{29}{8}$$

គុណ -\frac{7}{8} ដង \frac{359}{37} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{2513}{296}+\frac{29}{8}$$

បូក \frac{29}{8} ជាមួយ -\frac{2513}{296} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{180}{37}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{180}{37},y=\frac{359}{37}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$8x+7y=29,11x+5y=-5$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\-5\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\-5\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\-5\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&7\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\-5\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{8\times 5-7\times 11}&-\frac{7}{8\times 5-7\times 11}\\-\frac{11}{8\times 5-7\times 11}&\frac{8}{8\times 5-7\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\-5\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{37}&\frac{7}{37}\\\frac{11}{37}&-\frac{8}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\-5\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{37}\times 29+\frac{7}{37}\left(-5\right)\\\frac{11}{37}\times 29-\frac{8}{37}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{180}{37}\\\frac{359}{37}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{180}{37},y=\frac{359}{37}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$8x+7y=29,11x+5y=-5$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 8x និង 11x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 11 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 8។

$$11\times 8x+11\times 7y=11\times 29,8\times 11x+8\times 5y=8\left(-5\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$88x+77y=319,88x+40y=-40$$

ដក 88x+40y=-40 ពី 88x+77y=319 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$88x-88x+77y-40y=319+40$$

បូក 88x ជាមួយ -88x។ ការលុបតួ 88x និង -88x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$77y-40y=319+40$$

បូក 77y ជាមួយ -40y។

$$37y=319+40$$

បូក 319 ជាមួយ 40។

$$37y=359$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 37។

$$y=\frac{359}{37}$$

ជំនួស \frac{359}{37} សម្រាប់ y ក្នុង 11x+5y=-5។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$11x+5\times \frac{359}{37}=-5$$

គុណ 5 ដង \frac{359}{37}។

$$11x+\frac{1795}{37}=-5$$

ដក \frac{1795}{37} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$11x=-\frac{1980}{37}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 11។

$$x=-\frac{180}{37}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{180}{37},y=\frac{359}{37}$$