ដោះស្រាយ {l}{53x+22y=400}{10y+x=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 53 x + 22 y = 400 } \\ { 10 y + x = 60 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{670}{127} = 5\frac{35}{127} \approx 5.275590551$$

$$y = \frac{695}{127} = 5\frac{60}{127} \approx 5.472440945$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$53x+22y=400$$

ដក 22y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$53x=-22y+400$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 53។

$$x=\frac{1}{53}\left(-22y+400\right)$$

គុណ \frac{1}{53} ដង -22y+400។

$$x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}$$

ជំនួស \frac{-22y+400}{53} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x+10y=60។

$$-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}+10y=60$$

បូក -\frac{22y}{53} ជាមួយ 10y។

$$\frac{508}{53}y+\frac{400}{53}=60$$

ដក \frac{400}{53} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{508}{53}y=\frac{2780}{53}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{508}{53} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{695}{127}$$

ជំនួស \frac{695}{127} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{22}{53}\times \frac{695}{127}+\frac{400}{53}$$

គុណ -\frac{22}{53} ដង \frac{695}{127} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{15290}{6731}+\frac{400}{53}$$

បូក \frac{400}{53} ជាមួយ -\frac{15290}{6731} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{670}{127}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{53\times 10-22}&-\frac{22}{53\times 10-22}\\-\frac{1}{53\times 10-22}&\frac{53}{53\times 10-22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}&-\frac{11}{254}\\-\frac{1}{508}&\frac{53}{508}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}\times 400-\frac{11}{254}\times 60\\-\frac{1}{508}\times 400+\frac{53}{508}\times 60\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{670}{127}\\\frac{695}{127}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 53x និង x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 53។

$$53x+22y=400,53x+53\times 10y=53\times 60$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$53x+22y=400,53x+530y=3180$$

ដក 53x+530y=3180 ពី 53x+22y=400 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$53x-53x+22y-530y=400-3180$$

បូក 53x ជាមួយ -53x។ ការលុបតួ 53x និង -53x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$22y-530y=400-3180$$

បូក 22y ជាមួយ -530y។

$$-508y=400-3180$$

បូក 400 ជាមួយ -3180។

$$-508y=-2780$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -508។

$$y=\frac{695}{127}$$

ជំនួស \frac{695}{127} សម្រាប់ y ក្នុង x+10y=60។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x+10\times \frac{695}{127}=60$$

គុណ 10 ដង \frac{695}{127}។

$$x+\frac{6950}{127}=60$$

ដក \frac{6950}{127} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=\frac{670}{127}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$