ដោះស្រាយ {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$5x-2y=16$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម 2y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$7x+2y=32$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x-2y=16$$

បូក 2y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=2y+16$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង 16+2y។

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

ជំនួស \frac{16+2y}{5} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 7x+2y=32។

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

គុណ 7 ដង \frac{16+2y}{5}។

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

បូក \frac{14y}{5} ជាមួយ 2y។

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

ដក \frac{112}{5} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{24}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

គុណ \frac{2}{5} ដង 2។

$$x=\frac{4+16}{5}$$

បូក \frac{16}{5} ជាមួយ \frac{4}{5} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=4,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$5x-2y=16$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម 2y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$7x+2y=32$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=4,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$5x-2y=16$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម 2y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$7x+2y=32$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង 7x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 7 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

ដក 35x+10y=160 ពី 35x-14y=112 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

បូក 35x ជាមួយ -35x។ ការលុបតួ 35x និង -35x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-14y-10y=112-160$$

បូក -14y ជាមួយ -10y។

$$-24y=112-160$$

បូក 112 ជាមួយ -160។

$$-24y=-48$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -24។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង 7x+2y=32។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$7x+2\times 2=32$$

គុណ 2 ដង 2។

$$7x+4=32$$

ដក 4 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$7x=28$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 7។

$$x=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=4,y=2$$