ដោះស្រាយ {l}{5x+y=5}{-2x+2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{25}{12} = 2\frac{1}{12} \approx 2.083333333$$

$$y = -\frac{65}{12} = -5\frac{5}{12} \approx -5.416666667$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x+y=5,-2x+2y=-15$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x+y=5$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=-y+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+5\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង -y+5។

$$x=-\frac{1}{5}y+1$$

ជំនួស -\frac{y}{5}+1 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -2x+2y=-15។

$$-2\left(-\frac{1}{5}y+1\right)+2y=-15$$

គុណ -2 ដង -\frac{y}{5}+1។

$$\frac{2}{5}y-2+2y=-15$$

បូក \frac{2y}{5} ជាមួយ 2y។

$$\frac{12}{5}y-2=-15$$

បូក 2 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{12}{5}y=-13$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{12}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{65}{12}$$

ជំនួស -\frac{65}{12} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{5}y+1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{5}\left(-\frac{65}{12}\right)+1$$

គុណ -\frac{1}{5} ដង -\frac{65}{12} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{13}{12}+1$$

បូក 1 ជាមួយ \frac{13}{12}។

$$x=\frac{25}{12}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{25}{12},y=-\frac{65}{12}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x+y=5,-2x+2y=-15$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{5\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-15\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5-\frac{1}{12}\left(-15\right)\\\frac{1}{6}\times 5+\frac{5}{12}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{12}\\-\frac{65}{12}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{25}{12},y=-\frac{65}{12}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x+y=5,-2x+2y=-15$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង -2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$-2\times 5x-2y=-2\times 5,5\left(-2\right)x+5\times 2y=5\left(-15\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-10x-2y=-10,-10x+10y=-75$$

ដក -10x+10y=-75 ពី -10x-2y=-10 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-10x+10x-2y-10y=-10+75$$

បូក -10x ជាមួយ 10x។ ការលុបតួ -10x និង 10x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-2y-10y=-10+75$$

បូក -2y ជាមួយ -10y។

$$-12y=-10+75$$

បូក -10 ជាមួយ 75។

$$-12y=65$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -12។

$$y=-\frac{65}{12}$$

ជំនួស -\frac{65}{12} សម្រាប់ y ក្នុង -2x+2y=-15។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-2x+2\left(-\frac{65}{12}\right)=-15$$

គុណ 2 ដង -\frac{65}{12}។

$$-2x-\frac{65}{6}=-15$$

បូក \frac{65}{6} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-2x=-\frac{25}{6}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -2។

$$x=\frac{25}{12}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{25}{12},y=-\frac{65}{12}$$