ដោះស្រាយ {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x+2y=3$$

ដក 2y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=-2y+3$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង -2y+3។

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

ជំនួស \frac{-2y+3}{5} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 12x+7y=2។

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

គុណ 12 ដង \frac{-2y+3}{5}។

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

បូក -\frac{24y}{5} ជាមួយ 7y។

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

ដក \frac{36}{5} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{11}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{26}{11}$$

ជំនួស -\frac{26}{11} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

គុណ -\frac{2}{5} ដង -\frac{26}{11} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

បូក \frac{3}{5} ជាមួយ \frac{52}{55} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{17}{11}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង 12x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 12 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

ដក 60x+35y=10 ពី 60x+24y=36 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

បូក 60x ជាមួយ -60x។ ការលុបតួ 60x និង -60x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$24y-35y=36-10$$

បូក 24y ជាមួយ -35y។

$$-11y=36-10$$

បូក 36 ជាមួយ -10។

$$-11y=26$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -11។

$$y=-\frac{26}{11}$$

ជំនួស -\frac{26}{11} សម្រាប់ y ក្នុង 12x+7y=2។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

គុណ 7 ដង -\frac{26}{11}។

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

បូក \frac{182}{11} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$12x=\frac{204}{11}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 12។

$$x=\frac{17}{11}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$