ដោះស្រាយ {l}{4x-2y=11}{-5x+3y=-19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 11 } \\ { - 5 x + 3 y = - 19 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{21}{2} = -10\frac{1}{2} = -10.5$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x-2y=11$$

បូក 2y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=2y+11$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+11\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង 2y+11។

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}$$

ជំនួស \frac{y}{2}+\frac{11}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -5x+3y=-19។

$$-5\left(\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-19$$

គុណ -5 ដង \frac{y}{2}+\frac{11}{4}។

$$-\frac{5}{2}y-\frac{55}{4}+3y=-19$$

បូក -\frac{5y}{2} ជាមួយ 3y។

$$\frac{1}{2}y-\frac{55}{4}=-19$$

បូក \frac{55}{4} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{1}{2}y=-\frac{21}{4}$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង 2។

$$y=-\frac{21}{2}$$

ជំនួស -\frac{21}{2} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{2}y+\frac{11}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{21}{2}\right)+\frac{11}{4}$$

គុណ \frac{1}{2} ដង -\frac{21}{2} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{-21+11}{4}$$

បូក \frac{11}{4} ជាមួយ -\frac{21}{4} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{5}{2}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\\frac{5}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-19\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 11-19\\\frac{5}{2}\times 11+2\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{21}{2}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x-2y=11,-5x+3y=-19$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង -5x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -5 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$-5\times 4x-5\left(-2\right)y=-5\times 11,4\left(-5\right)x+4\times 3y=4\left(-19\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-20x+10y=-55,-20x+12y=-76$$

ដក -20x+12y=-76 ពី -20x+10y=-55 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-20x+20x+10y-12y=-55+76$$

បូក -20x ជាមួយ 20x។ ការលុបតួ -20x និង 20x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$10y-12y=-55+76$$

បូក 10y ជាមួយ -12y។

$$-2y=-55+76$$

បូក -55 ជាមួយ 76។

$$-2y=21$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -2។

$$y=-\frac{21}{2}$$

ជំនួស -\frac{21}{2} សម្រាប់ y ក្នុង -5x+3y=-19។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-5x+3\left(-\frac{21}{2}\right)=-19$$

គុណ 3 ដង -\frac{21}{2}។

$$-5x-\frac{63}{2}=-19$$

បូក \frac{63}{2} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-5x=\frac{25}{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -5។

$$x=-\frac{5}{2}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{21}{2}$$