ដោះស្រាយ {l}{4x+y=7}{x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = \frac{29}{7} = 4\frac{1}{7} \approx 4.142857143$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=7,x+2y=9$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+y=7$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-y+7$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -y+7។

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

ជំនួស \frac{-y+7}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x+2y=9។

$$-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}+2y=9$$

បូក -\frac{y}{4} ជាមួយ 2y។

$$\frac{7}{4}y+\frac{7}{4}=9$$

ដក \frac{7}{4} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{7}{4}y=\frac{29}{4}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{7}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{29}{7}$$

ជំនួស \frac{29}{7} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{29}{7}+\frac{7}{4}$$

គុណ -\frac{1}{4} ដង \frac{29}{7} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{29}{28}+\frac{7}{4}$$

បូក \frac{7}{4} ជាមួយ -\frac{29}{28} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{5}{7}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{5}{7},y=\frac{29}{7}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+y=7,x+2y=9$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-1}&-\frac{1}{4\times 2-1}\\-\frac{1}{4\times 2-1}&\frac{4}{4\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{1}{7}\times 7+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\\frac{29}{7}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{5}{7},y=\frac{29}{7}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=7,x+2y=9$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$4x+y=7,4x+4\times 2y=4\times 9$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$4x+y=7,4x+8y=36$$

ដក 4x+8y=36 ពី 4x+y=7 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x-4x+y-8y=7-36$$

បូក 4x ជាមួយ -4x។ ការលុបតួ 4x និង -4x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$y-8y=7-36$$

បូក y ជាមួយ -8y។

$$-7y=7-36$$

បូក 7 ជាមួយ -36។

$$-7y=-29$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -7។

$$y=\frac{29}{7}$$

ជំនួស \frac{29}{7} សម្រាប់ y ក្នុង x+2y=9។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x+2\times \frac{29}{7}=9$$

គុណ 2 ដង \frac{29}{7}។

$$x+\frac{58}{7}=9$$

ដក \frac{58}{7} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=\frac{5}{7}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{5}{7},y=\frac{29}{7}$$