ដោះស្រាយ {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+y=7$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-y+7$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -y+7។

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

ជំនួស \frac{-y+7}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x+2y=9។

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

គុណ 3 ដង \frac{-y+7}{4}។

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

បូក -\frac{3y}{4} ជាមួយ 2y។

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

ដក \frac{21}{4} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{5}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

គុណ -\frac{1}{4} ដង 3។

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

បូក \frac{7}{4} ជាមួយ -\frac{3}{4} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=1,y=3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

ដក 12x+8y=36 ពី 12x+3y=21 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

បូក 12x ជាមួយ -12x។ ការលុបតួ 12x និង -12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$3y-8y=21-36$$

បូក 3y ជាមួយ -8y។

$$-5y=21-36$$

បូក 21 ជាមួយ -36។

$$-5y=-15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -5។

$$y=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ y ក្នុង 3x+2y=9។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x+2\times 3=9$$

គុណ 2 ដង 3។

$$3x+6=9$$

ដក 6 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=3$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=1,y=3$$