ដោះស្រាយ {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=45$$

$$y=-165$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+y=15$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-y+15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -y+15។

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

ជំនួស \frac{-y+15}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 19x+5y=30។

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

គុណ 19 ដង \frac{-y+15}{4}។

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

បូក -\frac{19y}{4} ជាមួយ 5y។

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

ដក \frac{285}{4} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង 4។

$$y=-165$$

ជំនួស -165 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

គុណ -\frac{1}{4} ដង -165។

$$x=\frac{165+15}{4}$$

បូក \frac{15}{4} ជាមួយ \frac{165}{4} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=45$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=45,y=-165$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=45,y=-165$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង 19x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 19 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

ដក 76x+20y=120 ពី 76x+19y=285 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

បូក 76x ជាមួយ -76x។ ការលុបតួ 76x និង -76x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$19y-20y=285-120$$

បូក 19y ជាមួយ -20y។

$$-y=285-120$$

បូក 285 ជាមួយ -120។

$$-y=165$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -1។

$$y=-165$$

ជំនួស -165 សម្រាប់ y ក្នុង 19x+5y=30។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

គុណ 5 ដង -165។

$$19x-825=30$$

បូក 825 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$19x=855$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 19។

$$x=45$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=45,y=-165$$