ដោះស្រាយ {l}{4x+5y=11}{y=3x-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 11 } \\ { y = 3 x - 18 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{101}{19} = 5\frac{6}{19} \approx 5.315789474$$

$$y = -\frac{39}{19} = -2\frac{1}{19} \approx -2.052631579$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-3x=-18$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+5y=11$$

ដក 5y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-5y+11$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+11\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -5y+11។

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}$$

ជំនួស \frac{-5y+11}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -3x+y=-18។

$$-3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}\right)+y=-18$$

គុណ -3 ដង \frac{-5y+11}{4}។

$$\frac{15}{4}y-\frac{33}{4}+y=-18$$

បូក \frac{15y}{4} ជាមួយ y។

$$\frac{19}{4}y-\frac{33}{4}=-18$$

បូក \frac{33}{4} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{19}{4}y=-\frac{39}{4}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{19}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{39}{19}$$

ជំនួស -\frac{39}{19} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{5}{4}y+\frac{11}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{39}{19}\right)+\frac{11}{4}$$

គុណ -\frac{5}{4} ដង -\frac{39}{19} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{195}{76}+\frac{11}{4}$$

បូក \frac{11}{4} ជាមួយ \frac{195}{76} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{101}{19}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-3x=-18$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4-5\left(-3\right)}&\frac{4}{4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-18\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 11-\frac{5}{19}\left(-18\right)\\\frac{3}{19}\times 11+\frac{4}{19}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{101}{19}\\-\frac{39}{19}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 3x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-3x=-18$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+5y=11,-3x+y=-18$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង -3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$-3\times 4x-3\times 5y=-3\times 11,4\left(-3\right)x+4y=4\left(-18\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-12x-15y=-33,-12x+4y=-72$$

ដក -12x+4y=-72 ពី -12x-15y=-33 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-12x+12x-15y-4y=-33+72$$

បូក -12x ជាមួយ 12x។ ការលុបតួ -12x និង 12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-15y-4y=-33+72$$

បូក -15y ជាមួយ -4y។

$$-19y=-33+72$$

បូក -33 ជាមួយ 72។

$$-19y=39$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -19។

$$y=-\frac{39}{19}$$

ជំនួស -\frac{39}{19} សម្រាប់ y ក្នុង -3x+y=-18។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-3x-\frac{39}{19}=-18$$

បូក \frac{39}{19} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-3x=-\frac{303}{19}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -3។

$$x=\frac{101}{19}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{101}{19},y=-\frac{39}{19}$$