ដោះស្រាយ {l}{4x+5y=10}{3x-3y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 10 } \\ { 3 x - 3 y = 21 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+5y=10,3x-3y=21$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+5y=10$$

ដក 5y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-5y+10$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+10\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -5y+10។

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}$$

ជំនួស -\frac{5y}{4}+\frac{5}{2} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x-3y=21។

$$3\left(-\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}\right)-3y=21$$

គុណ 3 ដង -\frac{5y}{4}+\frac{5}{2}។

$$-\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-3y=21$$

បូក -\frac{15y}{4} ជាមួយ -3y។

$$-\frac{27}{4}y+\frac{15}{2}=21$$

ដក \frac{15}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{27}{4}y=\frac{27}{2}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{27}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-2$$

ជំនួស -2 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

គុណ -\frac{5}{4} ដង -2។

$$x=\frac{5+5}{2}$$

បូក \frac{5}{2} ជាមួយ \frac{5}{2} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=-2$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+5y=10,3x-3y=21$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 3}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{4}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\21\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 10+\frac{5}{27}\times 21\\\frac{1}{9}\times 10-\frac{4}{27}\times 21\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=5,y=-2$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+5y=10,3x-3y=21$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$3\times 4x+3\times 5y=3\times 10,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\times 21$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$12x+15y=30,12x-12y=84$$

ដក 12x-12y=84 ពី 12x+15y=30 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$12x-12x+15y+12y=30-84$$

បូក 12x ជាមួយ -12x។ ការលុបតួ 12x និង -12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$15y+12y=30-84$$

បូក 15y ជាមួយ 12y។

$$27y=30-84$$

បូក 30 ជាមួយ -84។

$$27y=-54$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 27។

$$y=-2$$

ជំនួស -2 សម្រាប់ y ក្នុង 3x-3y=21។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x-3\left(-2\right)=21$$

គុណ -3 ដង -2។

$$3x+6=21$$

ដក 6 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=-2$$