ដោះស្រាយ {l}{3x-5y=-16}{2x+5y=31}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x + 5 y = 31 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x-5y=-16$$

បូក 5y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=5y-16$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង 5y-16។

$$x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}$$

ជំនួស \frac{5y-16}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+5y=31។

$$2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)+5y=31$$

គុណ 2 ដង \frac{5y-16}{3}។

$$\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}+5y=31$$

បូក \frac{10y}{3} ជាមួយ 5y។

$$\frac{25}{3}y-\frac{32}{3}=31$$

បូក \frac{32}{3} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{25}{3}y=\frac{125}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{25}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=5$$

ជំនួស 5 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}$$

គុណ \frac{5}{3} ដង 5។

$$x=\frac{25-16}{3}$$

បូក -\frac{16}{3} ជាមួយ \frac{25}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=5$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\31\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-16\right)+\frac{1}{5}\times 31\\-\frac{2}{25}\left(-16\right)+\frac{3}{25}\times 31\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=3,y=5$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x-5y=-16,2x+5y=31$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\times 5y=3\times 31$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x-10y=-32,6x+15y=93$$

ដក 6x+15y=93 ពី 6x-10y=-32 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x-10y-15y=-32-93$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-10y-15y=-32-93$$

បូក -10y ជាមួយ -15y។

$$-25y=-32-93$$

បូក -32 ជាមួយ -93។

$$-25y=-125$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -25។

$$y=5$$

ជំនួស 5 សម្រាប់ y ក្នុង 2x+5y=31។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x+5\times 5=31$$

គុណ 5 ដង 5។

$$2x+25=31$$

ដក 25 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=5$$