ដោះស្រាយ {l}{3x+8y=7}{4x-3y=23}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 8 y = 7 } \\ { 4 x - 3 y = 23 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=5$$

$$y=-1$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+8y=7$$

ដក 8y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-8y+7$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-8y+7\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -8y+7។

$$x=-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}$$

ជំនួស \frac{-8y+7}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 4x-3y=23។

$$4\left(-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}\right)-3y=23$$

គុណ 4 ដង \frac{-8y+7}{3}។

$$-\frac{32}{3}y+\frac{28}{3}-3y=23$$

បូក -\frac{32y}{3} ជាមួយ -3y។

$$-\frac{41}{3}y+\frac{28}{3}=23$$

ដក \frac{28}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{41}{3}y=\frac{41}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{41}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-1$$

ជំនួស -1 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{8}{3}y+\frac{7}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{8}{3}\left(-1\right)+\frac{7}{3}$$

គុណ -\frac{8}{3} ដង -1។

$$x=\frac{8+7}{3}$$

បូក \frac{7}{3} ជាមួយ \frac{8}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=-1$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&8\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-8\times 4}&-\frac{8}{3\left(-3\right)-8\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-8\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-8\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\\frac{4}{41}&-\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\23\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 7+\frac{8}{41}\times 23\\\frac{4}{41}\times 7-\frac{3}{41}\times 23\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=5,y=-1$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+8y=7,4x-3y=23$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 4x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 4 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$4\times 3x+4\times 8y=4\times 7,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 23$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$12x+32y=28,12x-9y=69$$

ដក 12x-9y=69 ពី 12x+32y=28 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$12x-12x+32y+9y=28-69$$

បូក 12x ជាមួយ -12x។ ការលុបតួ 12x និង -12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$32y+9y=28-69$$

បូក 32y ជាមួយ 9y។

$$41y=28-69$$

បូក 28 ជាមួយ -69។

$$41y=-41$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 41។

$$y=-1$$

ជំនួស -1 សម្រាប់ y ក្នុង 4x-3y=23។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$4x-3\left(-1\right)=23$$

គុណ -3 ដង -1។

$$4x+3=23$$

ដក 3 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=20$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=-1$$