ដោះស្រាយ {l}{3x+4y=253}{y=5x}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 253 } \\ { y = 5 x } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=11$$

$$y=55$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 5x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-5x=0$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+4y=253$$

ដក 4y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-4y+253$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+253\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -4y+253។

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}$$

ជំនួស \frac{-4y+253}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -5x+y=0។

$$-5\left(-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}\right)+y=0$$

គុណ -5 ដង \frac{-4y+253}{3}។

$$\frac{20}{3}y-\frac{1265}{3}+y=0$$

បូក \frac{20y}{3} ជាមួយ y។

$$\frac{23}{3}y-\frac{1265}{3}=0$$

បូក \frac{1265}{3} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{23}{3}y=\frac{1265}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{23}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=55$$

ជំនួស 55 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{4}{3}y+\frac{253}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{4}{3}\times 55+\frac{253}{3}$$

គុណ -\frac{4}{3} ដង 55។

$$x=\frac{-220+253}{3}$$

បូក \frac{253}{3} ជាមួយ -\frac{220}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=11$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=11,y=55$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 5x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-5x=0$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\-5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\left(-5\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3-4\left(-5\right)}&\frac{3}{3-4\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&-\frac{4}{23}\\\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}253\\0\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 253\\\frac{5}{23}\times 253\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\55\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=11,y=55$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដក 5x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-5x=0$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+4y=253,-5x+y=0$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង -5x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -5 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$-5\times 3x-5\times 4y=-5\times 253,3\left(-5\right)x+3y=0$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-15x-20y=-1265,-15x+3y=0$$

ដក -15x+3y=0 ពី -15x-20y=-1265 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-15x+15x-20y-3y=-1265$$

បូក -15x ជាមួយ 15x។ ការលុបតួ -15x និង 15x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-20y-3y=-1265$$

បូក -20y ជាមួយ -3y។

$$-23y=-1265$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -23។

$$y=55$$

ជំនួស 55 សម្រាប់ y ក្នុង -5x+y=0។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-5x+55=0$$

ដក 55 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-5x=-55$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -5។

$$x=11$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=11,y=55$$