ដោះស្រាយ {l}{3x+4y=-11}{y=-2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = - 11 } \\ { y = - 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=3$$

$$y=-5$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម 2x ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$y+2x=1$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+4y=-11,2x+y=1$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+4y=-11$$

ដក 4y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-4y-11$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y-11\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -4y-11។

$$x=-\frac{4}{3}y-\frac{11}{3}$$

ជំនួស \frac{-4y-11}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+y=1។

$$2\left(-\frac{4}{3}y-\frac{11}{3}\right)+y=1$$

គុណ 2 ដង \frac{-4y-11}{3}។

$$-\frac{8}{3}y-\frac{22}{3}+y=1$$

បូក -\frac{8y}{3} ជាមួយ y។

$$-\frac{5}{3}y-\frac{22}{3}=1$$

បូក \frac{22}{3} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{5}{3}y=\frac{25}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{5}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-5$$

ជំនួស -5 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{4}{3}y-\frac{11}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{4}{3}\left(-5\right)-\frac{11}{3}$$

គុណ -\frac{4}{3} ដង -5។

$$x=\frac{20-11}{3}$$

បូក -\frac{11}{3} ជាមួយ \frac{20}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=-5$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម 2x ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$y+2x=1$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+4y=-11,2x+y=1$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-4\times 2}&-\frac{4}{3-4\times 2}\\-\frac{2}{3-4\times 2}&\frac{3}{3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\1\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{4}{5}\\\frac{2}{5}\left(-11\right)-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=3,y=-5$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ បន្ថែម 2x ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$y+2x=1$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+4y=-11,2x+y=1$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$2\times 3x+2\times 4y=2\left(-11\right),3\times 2x+3y=3$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x+8y=-22,6x+3y=3$$

ដក 6x+3y=3 ពី 6x+8y=-22 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x+8y-3y=-22-3$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$8y-3y=-22-3$$

បូក 8y ជាមួយ -3y។

$$5y=-22-3$$

បូក -22 ជាមួយ -3។

$$5y=-25$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$y=-5$$

ជំនួស -5 សម្រាប់ y ក្នុង 2x+y=1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x-5=1$$

បូក 5 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=-5$$