ដោះស្រាយ {l}{3u+z=15}{u+2z=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 u + z = 15 } \\ { u + 2 z = 10 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ u, z

$$z=3$$

$$u=4$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3u+z=15,u+2z=10$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ u ដោយការញែក u នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3u+z=15$$

ដក z ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3u=-z+15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$u=\frac{1}{3}\left(-z+15\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -z+15។

$$u=-\frac{1}{3}z+5$$

ជំនួស -\frac{z}{3}+5 សម្រាប់ u នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត u+2z=10។

$$-\frac{1}{3}z+5+2z=10$$

បូក -\frac{z}{3} ជាមួយ 2z។

$$\frac{5}{3}z+5=10$$

ដក 5 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{5}{3}z=5$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{5}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$z=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ z ក្នុង u=-\frac{1}{3}z+5។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ u ដោយផ្ទាល់។

$$u=-\frac{1}{3}\times 3+5$$

គុណ -\frac{1}{3} ដង 3។

$$u=-1+5$$

បូក 5 ជាមួយ -1។

$$u=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$u=4,z=3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3u+z=15,u+2z=10$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-1}&-\frac{1}{3\times 2-1}\\-\frac{1}{3\times 2-1}&\frac{3}{3\times 2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\10\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 15-\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}u\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស u និង z។

$$u=4,z=3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3u+z=15,u+2z=10$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3u និង u ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$3u+z=15,3u+3\times 2z=3\times 10$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$3u+z=15,3u+6z=30$$

ដក 3u+6z=30 ពី 3u+z=15 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3u-3u+z-6z=15-30$$

បូក 3u ជាមួយ -3u។ ការលុបតួ 3u និង -3u បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$z-6z=15-30$$

បូក z ជាមួយ -6z។

$$-5z=15-30$$

បូក 15 ជាមួយ -30។

$$-5z=-15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -5។

$$z=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ z ក្នុង u+2z=10។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ u ដោយផ្ទាល់។

$$u+2\times 3=10$$

គុណ 2 ដង 3។

$$u+6=10$$

ដក 6 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$u=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$u=4,z=3$$