ដោះស្រាយ {l}{3a+4b=5}{11a-b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 3 a + 4 b = 5 } \\ { 11 a - b = 2 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ a, b

$$a=\frac{13}{47}\approx 0.276595745$$

$$b = \frac{49}{47} = 1\frac{2}{47} \approx 1.042553191$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3a+4b=5,11a-b=2$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ a ដោយការញែក a នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3a+4b=5$$

ដក 4b ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3a=-4b+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$a=\frac{1}{3}\left(-4b+5\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -4b+5។

$$a=-\frac{4}{3}b+\frac{5}{3}$$

ជំនួស \frac{-4b+5}{3} សម្រាប់ a នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 11a-b=2។

$$11\left(-\frac{4}{3}b+\frac{5}{3}\right)-b=2$$

គុណ 11 ដង \frac{-4b+5}{3}។

$$-\frac{44}{3}b+\frac{55}{3}-b=2$$

បូក -\frac{44b}{3} ជាមួយ -b។

$$-\frac{47}{3}b+\frac{55}{3}=2$$

ដក \frac{55}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{47}{3}b=-\frac{49}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{47}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$b=\frac{49}{47}$$

ជំនួស \frac{49}{47} សម្រាប់ b ក្នុង a=-\frac{4}{3}b+\frac{5}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ a ដោយផ្ទាល់។

$$a=-\frac{4}{3}\times \frac{49}{47}+\frac{5}{3}$$

គុណ -\frac{4}{3} ដង \frac{49}{47} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$a=-\frac{196}{141}+\frac{5}{3}$$

បូក \frac{5}{3} ជាមួយ -\frac{196}{141} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$a=\frac{13}{47}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$a=\frac{13}{47},b=\frac{49}{47}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3a+4b=5,11a-b=2$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-4\times 11}&-\frac{4}{3\left(-1\right)-4\times 11}\\-\frac{11}{3\left(-1\right)-4\times 11}&\frac{3}{3\left(-1\right)-4\times 11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}&\frac{4}{47}\\\frac{11}{47}&-\frac{3}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{47}\times 5+\frac{4}{47}\times 2\\\frac{11}{47}\times 5-\frac{3}{47}\times 2\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{47}\\\frac{49}{47}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស a និង b។

$$a=\frac{13}{47},b=\frac{49}{47}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3a+4b=5,11a-b=2$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3a និង 11a ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 11 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$11\times 3a+11\times 4b=11\times 5,3\times 11a+3\left(-1\right)b=3\times 2$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$33a+44b=55,33a-3b=6$$

ដក 33a-3b=6 ពី 33a+44b=55 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$33a-33a+44b+3b=55-6$$

បូក 33a ជាមួយ -33a។ ការលុបតួ 33a និង -33a បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$44b+3b=55-6$$

បូក 44b ជាមួយ 3b។

$$47b=55-6$$

បូក 55 ជាមួយ -6។

$$47b=49$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 47។

$$b=\frac{49}{47}$$

ជំនួស \frac{49}{47} សម្រាប់ b ក្នុង 11a-b=2។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ a ដោយផ្ទាល់។

$$11a-\frac{49}{47}=2$$

បូក \frac{49}{47} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$11a=\frac{143}{47}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 11។

$$a=\frac{13}{47}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$a=\frac{13}{47},b=\frac{49}{47}$$