ដោះស្រាយ {l}{2x+y=45}{3x+5y=70}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = 45 } \\ { 3 x + 5 y = 70 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{155}{7} = 22\frac{1}{7} \approx 22.142857143$$

$$y=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$2x+y=45$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=-y+45$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+45\right)$$

គុណ \frac{1}{2} ដង -y+45។

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

ជំនួស \frac{-y+45}{2} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x+5y=70។

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+5y=70$$

គុណ 3 ដង \frac{-y+45}{2}។

$$-\frac{3}{2}y+\frac{135}{2}+5y=70$$

បូក -\frac{3y}{2} ជាមួយ 5y។

$$\frac{7}{2}y+\frac{135}{2}=70$$

ដក \frac{135}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{7}{2}y=\frac{5}{2}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{7}{2} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{5}{7}$$

ជំនួស \frac{5}{7} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{7}+\frac{45}{2}$$

គុណ -\frac{1}{2} ដង \frac{5}{7} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{5}{14}+\frac{45}{2}$$

បូក \frac{45}{2} ជាមួយ -\frac{5}{14} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{155}{7}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3}&-\frac{1}{2\times 5-3}\\-\frac{3}{2\times 5-3}&\frac{2}{2\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\70\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 45-\frac{1}{7}\times 70\\-\frac{3}{7}\times 45+\frac{2}{7}\times 70\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{155}{7}\\\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$2x+y=45,3x+5y=70$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 2x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 2។

$$3\times 2x+3y=3\times 45,2\times 3x+2\times 5y=2\times 70$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x+3y=135,6x+10y=140$$

ដក 6x+10y=140 ពី 6x+3y=135 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x+3y-10y=135-140$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$3y-10y=135-140$$

បូក 3y ជាមួយ -10y។

$$-7y=135-140$$

បូក 135 ជាមួយ -140។

$$-7y=-5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -7។

$$y=\frac{5}{7}$$

ជំនួស \frac{5}{7} សម្រាប់ y ក្នុង 3x+5y=70។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x+5\times \frac{5}{7}=70$$

គុណ 5 ដង \frac{5}{7}។

$$3x+\frac{25}{7}=70$$

ដក \frac{25}{7} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=\frac{465}{7}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{155}{7}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{155}{7},y=\frac{5}{7}$$