ដោះស្រាយ {l}{2x+5y=20}{3x-2y=11}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 20 } \\ { 3 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$2x+5y=20$$

ដក 5y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=-5y+20$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+20\right)$$

គុណ \frac{1}{2} ដង -5y+20។

$$x=-\frac{5}{2}y+10$$

ជំនួស -\frac{5y}{2}+10 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x-2y=11។

$$3\left(-\frac{5}{2}y+10\right)-2y=11$$

គុណ 3 ដង -\frac{5y}{2}+10។

$$-\frac{15}{2}y+30-2y=11$$

បូក -\frac{15y}{2} ជាមួយ -2y។

$$-\frac{19}{2}y+30=11$$

ដក 30 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{19}{2} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{5}{2}y+10។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{5}{2}\times 2+10$$

គុណ -\frac{5}{2} ដង 2។

$$x=-5+10$$

បូក 10 ជាមួយ -5។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 20+\frac{5}{19}\times 11\\\frac{3}{19}\times 20-\frac{2}{19}\times 11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=5,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$2x+5y=20,3x-2y=11$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 2x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 2។

$$3\times 2x+3\times 5y=3\times 20,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 11$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x+15y=60,6x-4y=22$$

ដក 6x-4y=22 ពី 6x+15y=60 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x+15y+4y=60-22$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$15y+4y=60-22$$

បូក 15y ជាមួយ 4y។

$$19y=60-22$$

បូក 60 ជាមួយ -22។

$$19y=38$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 19។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង 3x-2y=11។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x-2\times 2=11$$

គុណ -2 ដង 2។

$$3x-4=11$$

បូក 4 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=2$$