ដោះស្រាយ {l}{2a+b=420}{11a+5b=1848}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 420 } \\ { 11 a + 5 b = 1848 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ a, b

$$a=-252$$

$$b=924$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$2a+b=420,11a+5b=1848$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ a ដោយការញែក a នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$2a+b=420$$

ដក b ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2a=-b+420$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+420\right)$$

គុណ \frac{1}{2} ដង -b+420។

$$a=-\frac{1}{2}b+210$$

ជំនួស -\frac{b}{2}+210 សម្រាប់ a នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 11a+5b=1848។

$$11\left(-\frac{1}{2}b+210\right)+5b=1848$$

គុណ 11 ដង -\frac{b}{2}+210។

$$-\frac{11}{2}b+2310+5b=1848$$

បូក -\frac{11b}{2} ជាមួយ 5b។

$$-\frac{1}{2}b+2310=1848$$

ដក 2310 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{1}{2}b=-462$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង -2។

$$b=924$$

ជំនួស 924 សម្រាប់ b ក្នុង a=-\frac{1}{2}b+210។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ a ដោយផ្ទាល់។

$$a=-\frac{1}{2}\times 924+210$$

គុណ -\frac{1}{2} ដង 924។

$$a=-462+210$$

បូក 210 ជាមួយ -462។

$$a=-252$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$a=-252,b=924$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$2a+b=420,11a+5b=1848$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\11&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-11}&-\frac{1}{2\times 5-11}\\-\frac{11}{2\times 5-11}&\frac{2}{2\times 5-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&1\\11&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}420\\1848\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 420+1848\\11\times 420-2\times 1848\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-252\\924\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស a និង b។

$$a=-252,b=924$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$2a+b=420,11a+5b=1848$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 2a និង 11a ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 11 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 2។

$$11\times 2a+11b=11\times 420,2\times 11a+2\times 5b=2\times 1848$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$22a+11b=4620,22a+10b=3696$$

ដក 22a+10b=3696 ពី 22a+11b=4620 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$22a-22a+11b-10b=4620-3696$$

បូក 22a ជាមួយ -22a។ ការលុបតួ 22a និង -22a បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$11b-10b=4620-3696$$

បូក 11b ជាមួយ -10b។

$$b=4620-3696$$

បូក 4620 ជាមួយ -3696។

$$b=924$$

ជំនួស 924 សម្រាប់ b ក្នុង 11a+5b=1848។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ a ដោយផ្ទាល់។

$$11a+5\times 924=1848$$

គុណ 5 ដង 924។

$$11a+4620=1848$$

ដក 4620 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$11a=-2772$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 11។

$$a=-252$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$a=-252,b=924$$