ដោះស្រាយ {l}{17x+23y=40}{23x+17y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 17 x + 23 y = 40 } \\ { 23 x + 17 y = 50 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{47}{24} = 1\frac{23}{24} \approx 1.958333333$$

$$y=\frac{7}{24}\approx 0.291666667$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$17x+23y=40,23x+17y=50$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$17x+23y=40$$

ដក 23y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$17x=-23y+40$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 17។

$$x=\frac{1}{17}\left(-23y+40\right)$$

គុណ \frac{1}{17} ដង -23y+40។

$$x=-\frac{23}{17}y+\frac{40}{17}$$

ជំនួស \frac{-23y+40}{17} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 23x+17y=50។

$$23\left(-\frac{23}{17}y+\frac{40}{17}\right)+17y=50$$

គុណ 23 ដង \frac{-23y+40}{17}។

$$-\frac{529}{17}y+\frac{920}{17}+17y=50$$

បូក -\frac{529y}{17} ជាមួយ 17y។

$$-\frac{240}{17}y+\frac{920}{17}=50$$

ដក \frac{920}{17} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{240}{17}y=-\frac{70}{17}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{240}{17} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{7}{24}$$

ជំនួស \frac{7}{24} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{23}{17}y+\frac{40}{17}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{23}{17}\times \frac{7}{24}+\frac{40}{17}$$

គុណ -\frac{23}{17} ដង \frac{7}{24} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{161}{408}+\frac{40}{17}$$

បូក \frac{40}{17} ជាមួយ -\frac{161}{408} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{47}{24}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{47}{24},y=\frac{7}{24}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$17x+23y=40,23x+17y=50$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}17&23\\23&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{17\times 17-23\times 23}&-\frac{23}{17\times 17-23\times 23}\\-\frac{23}{17\times 17-23\times 23}&\frac{17}{17\times 17-23\times 23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{240}&\frac{23}{240}\\\frac{23}{240}&-\frac{17}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\50\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{240}\times 40+\frac{23}{240}\times 50\\\frac{23}{240}\times 40-\frac{17}{240}\times 50\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{24}\\\frac{7}{24}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{47}{24},y=\frac{7}{24}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$17x+23y=40,23x+17y=50$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 17x និង 23x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 23 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 17។

$$23\times 17x+23\times 23y=23\times 40,17\times 23x+17\times 17y=17\times 50$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$391x+529y=920,391x+289y=850$$

ដក 391x+289y=850 ពី 391x+529y=920 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$391x-391x+529y-289y=920-850$$

បូក 391x ជាមួយ -391x។ ការលុបតួ 391x និង -391x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$529y-289y=920-850$$

បូក 529y ជាមួយ -289y។

$$240y=920-850$$

បូក 920 ជាមួយ -850។

$$240y=70$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 240។

$$y=\frac{7}{24}$$

ជំនួស \frac{7}{24} សម្រាប់ y ក្នុង 23x+17y=50។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$23x+17\times \frac{7}{24}=50$$

គុណ 17 ដង \frac{7}{24}។

$$23x+\frac{119}{24}=50$$

ដក \frac{119}{24} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$23x=\frac{1081}{24}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 23។

$$x=\frac{47}{24}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{47}{24},y=\frac{7}{24}$$