ដោះស្រាយ {l}{14x+3y=-12}{15x+4y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 14 x + 3 y = - 12 } \\ { 15 x + 4 y = - 15 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

$$y = -\frac{30}{11} = -2\frac{8}{11} \approx -2.727272727$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$14x+3y=-12,15x+4y=-15$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$14x+3y=-12$$

ដក 3y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$14x=-3y-12$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 14។

$$x=\frac{1}{14}\left(-3y-12\right)$$

គុណ \frac{1}{14} ដង -3y-12។

$$x=-\frac{3}{14}y-\frac{6}{7}$$

ជំនួស -\frac{3y}{14}-\frac{6}{7} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 15x+4y=-15។

$$15\left(-\frac{3}{14}y-\frac{6}{7}\right)+4y=-15$$

គុណ 15 ដង -\frac{3y}{14}-\frac{6}{7}។

$$-\frac{45}{14}y-\frac{90}{7}+4y=-15$$

បូក -\frac{45y}{14} ជាមួយ 4y។

$$\frac{11}{14}y-\frac{90}{7}=-15$$

បូក \frac{90}{7} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{11}{14}y=-\frac{15}{7}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{11}{14} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{30}{11}$$

ជំនួស -\frac{30}{11} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{3}{14}y-\frac{6}{7}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{3}{14}\left(-\frac{30}{11}\right)-\frac{6}{7}$$

គុណ -\frac{3}{14} ដង -\frac{30}{11} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{45}{77}-\frac{6}{7}$$

បូក -\frac{6}{7} ជាមួយ \frac{45}{77} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{3}{11}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{30}{11}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$14x+3y=-12,15x+4y=-15$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}14&3\\15&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{14\times 4-3\times 15}&-\frac{3}{14\times 4-3\times 15}\\-\frac{15}{14\times 4-3\times 15}&\frac{14}{14\times 4-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{15}{11}&\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\left(-12\right)-\frac{3}{11}\left(-15\right)\\-\frac{15}{11}\left(-12\right)+\frac{14}{11}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\-\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{30}{11}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$14x+3y=-12,15x+4y=-15$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 14x និង 15x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 15 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 14។

$$15\times 14x+15\times 3y=15\left(-12\right),14\times 15x+14\times 4y=14\left(-15\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$210x+45y=-180,210x+56y=-210$$

ដក 210x+56y=-210 ពី 210x+45y=-180 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$210x-210x+45y-56y=-180+210$$

បូក 210x ជាមួយ -210x។ ការលុបតួ 210x និង -210x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$45y-56y=-180+210$$

បូក 45y ជាមួយ -56y។

$$-11y=-180+210$$

បូក -180 ជាមួយ 210។

$$-11y=30$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -11។

$$y=-\frac{30}{11}$$

ជំនួស -\frac{30}{11} សម្រាប់ y ក្នុង 15x+4y=-15។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$15x+4\left(-\frac{30}{11}\right)=-15$$

គុណ 4 ដង -\frac{30}{11}។

$$15x-\frac{120}{11}=-15$$

បូក \frac{120}{11} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$15x=-\frac{45}{11}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 15។

$$x=-\frac{3}{11}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{3}{11},y=-\frac{30}{11}$$