ដោះស្រាយ {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x-2 នឹង y+5។

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x-1 នឹង y+2។

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

ដក xy ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

បន្សំ xy និង -xy ដើម្បីបាន 0។

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

ដក 2x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

បន្សំ 5x និង -2x ដើម្បីបាន 3x។

$$3x-2y-10=-y-2$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-2y-10+y=-2$$

បន្សំ -2y និង y ដើម្បីបាន -y។

$$3x-y-10=-2$$

បន្ថែម 10 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-y=-2+10$$

បូក -2 និង 10 ដើម្បីបាន 8។

$$3x-y=8$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ y-3 នឹង x+4។

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x+7 នឹង y-4។

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

ដក xy ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

បន្សំ yx និង -xy ដើម្បីបាន 0។

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

បន្ថែម 4x ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

បន្សំ -3x និង 4x ដើម្បីបាន x។

$$4y+x-12=7y-28$$

ដក 7y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y+x-12-7y=-28$$

បន្សំ 4y និង -7y ដើម្បីបាន -3y។

$$-3y+x-12=-28$$

បន្ថែម 12 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$-3y+x=-28+12$$

បូក -28 និង 12 ដើម្បីបាន -16។

$$-3y+x=-16$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x-y=8$$

បូក y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=y+8$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង y+8។

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

ជំនួស \frac{8+y}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x-3y=-16។

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

បូក \frac{y}{3} ជាមួយ -3y។

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

ដក \frac{8}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{8}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=7$$

ជំនួស 7 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

គុណ \frac{1}{3} ដង 7។

$$x=\frac{7+8}{3}$$

បូក \frac{8}{3} ជាមួយ \frac{7}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=7$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x-2 នឹង y+5។

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x-1 នឹង y+2។

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

ដក xy ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

បន្សំ xy និង -xy ដើម្បីបាន 0។

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

ដក 2x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

បន្សំ 5x និង -2x ដើម្បីបាន 3x។

$$3x-2y-10=-y-2$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-2y-10+y=-2$$

បន្សំ -2y និង y ដើម្បីបាន -y។

$$3x-y-10=-2$$

បន្ថែម 10 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-y=-2+10$$

បូក -2 និង 10 ដើម្បីបាន 8។

$$3x-y=8$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ y-3 នឹង x+4។

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x+7 នឹង y-4។

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

ដក xy ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

បន្សំ yx និង -xy ដើម្បីបាន 0។

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

បន្ថែម 4x ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

បន្សំ -3x និង 4x ដើម្បីបាន x។

$$4y+x-12=7y-28$$

ដក 7y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y+x-12-7y=-28$$

បន្សំ 4y និង -7y ដើម្បីបាន -3y។

$$-3y+x-12=-28$$

បន្ថែម 12 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$-3y+x=-28+12$$

បូក -28 និង 12 ដើម្បីបាន -16។

$$-3y+x=-16$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=5,y=7$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x-2 នឹង y+5។

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x-1 នឹង y+2។

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

ដក xy ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

បន្សំ xy និង -xy ដើម្បីបាន 0។

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

ដក 2x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

បន្សំ 5x និង -2x ដើម្បីបាន 3x។

$$3x-2y-10=-y-2$$

បន្ថែម y ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-2y-10+y=-2$$

បន្សំ -2y និង y ដើម្បីបាន -y។

$$3x-y-10=-2$$

បន្ថែម 10 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$3x-y=-2+10$$

បូក -2 និង 10 ដើម្បីបាន 8។

$$3x-y=8$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ y-3 នឹង x+4។

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ x+7 នឹង y-4។

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

ដក xy ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

បន្សំ yx និង -xy ដើម្បីបាន 0។

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

បន្ថែម 4x ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

បន្សំ -3x និង 4x ដើម្បីបាន x។

$$4y+x-12=7y-28$$

ដក 7y ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$4y+x-12-7y=-28$$

បន្សំ 4y និង -7y ដើម្បីបាន -3y។

$$-3y+x-12=-28$$

បន្ថែម 12 ទៅជ្រុងទាំងពីរ។

$$-3y+x=-28+12$$

បូក -28 និង 12 ដើម្បីបាន -16។

$$-3y+x=-16$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

ដក 3x-9y=-48 ពី 3x-y=8 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

បូក 3x ជាមួយ -3x។ ការលុបតួ 3x និង -3x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-y+9y=8+48$$

បូក -y ជាមួយ 9y។

$$8y=8+48$$

បូក 8 ជាមួយ 48។

$$8y=56$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 8។

$$y=7$$

ជំនួស 7 សម្រាប់ y ក្នុង x-3y=-16។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x-3\times 7=-16$$

គុណ -3 ដង 7។

$$x-21=-16$$

បូក 21 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=7$$