ដោះស្រាយ {l}{frac{30-v_{0}}{60}+frac{v_{1}-3v_{0}}{30}-frac{v_{0}}{29}=0}{-frac{30-v_{0}}{60}+3-frac{v_{1}}{60}=0}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 30 - v _ { 0 } } { 60 } + \frac { v _ { 1 } - 3 v _ { 0 } } { 30 } - \frac { v _ { 0 } } { 29 } = 0 } \\ { - \frac { 30 - v _ { 0 } } { 60 } + 3 - \frac { v _ { 1 } } { 60 } = 0 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ v_0, v_1

$$v_{0} = \frac{1914}{41} = 46\frac{28}{41} \approx 46.682926829$$

$$v_{1} = \frac{8064}{41} = 196\frac{28}{41} \approx 196.682926829$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 1740 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 60,30,29។

$$29\left(30-v_{0}\right)+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 29 នឹង 30-v_{0}។

$$870-29v_{0}+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 58 នឹង v_{1}-3v_{0}។

$$870-29v_{0}+58v_{1}-174v_{0}-60v_{0}=0$$

បន្សំ -29v_{0} និង -174v_{0} ដើម្បីបាន -203v_{0}។

$$870-203v_{0}+58v_{1}-60v_{0}=0$$

បន្សំ -203v_{0} និង -60v_{0} ដើម្បីបាន -263v_{0}។

$$870-263v_{0}+58v_{1}=0$$

ដក 870 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ធ្វើប្រមាណវិធីគុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ 60។

$$-\left(30-v_{0}\right)+180-v_{1}=0$$

ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 30-v_{0} សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$-30+v_{0}+180-v_{1}=0$$

បូក -30 និង 180 ដើម្បីបាន 150។

$$150+v_{0}-v_{1}=0$$

ដក 150 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$v_{0}-v_{1}=-150$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,v_{0}-v_{1}=-150$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ v_{0} ដោយការញែក v_{0} នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

ដក 58v_{1} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-263v_{0}=-58v_{1}-870$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -263។

$$v_{0}=-\frac{1}{263}\left(-58v_{1}-870\right)$$

គុណ -\frac{1}{263} ដង -58v_{1}-870។

$$v_{0}=\frac{58}{263}v_{1}+\frac{870}{263}$$

ជំនួស \frac{870+58v_{1}}{263} សម្រាប់ v_{0} នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត v_{0}-v_{1}=-150។

$$\frac{58}{263}v_{1}+\frac{870}{263}-v_{1}=-150$$

បូក \frac{58v_{1}}{263} ជាមួយ -v_{1}។

$$-\frac{205}{263}v_{1}+\frac{870}{263}=-150$$

ដក \frac{870}{263} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{205}{263}v_{1}=-\frac{40320}{263}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{205}{263} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$v_{1}=\frac{8064}{41}$$

ជំនួស \frac{8064}{41} សម្រាប់ v_{1} ក្នុង v_{0}=\frac{58}{263}v_{1}+\frac{870}{263}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ v_{0} ដោយផ្ទាល់។

$$v_{0}=\frac{58}{263}\times \frac{8064}{41}+\frac{870}{263}$$

គុណ \frac{58}{263} ដង \frac{8064}{41} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$v_{0}=\frac{467712}{10783}+\frac{870}{263}$$

បូក \frac{870}{263} ជាមួយ \frac{467712}{10783} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$v_{0}=\frac{1914}{41}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$v_{0}=\frac{1914}{41},v_{1}=\frac{8064}{41}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 1740 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 60,30,29។

$$29\left(30-v_{0}\right)+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 29 នឹង 30-v_{0}។

$$870-29v_{0}+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 58 នឹង v_{1}-3v_{0}។

$$870-29v_{0}+58v_{1}-174v_{0}-60v_{0}=0$$

បន្សំ -29v_{0} និង -174v_{0} ដើម្បីបាន -203v_{0}។

$$870-203v_{0}+58v_{1}-60v_{0}=0$$

បន្សំ -203v_{0} និង -60v_{0} ដើម្បីបាន -263v_{0}។

$$870-263v_{0}+58v_{1}=0$$

ដក 870 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ធ្វើប្រមាណវិធីគុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ 60។

$$-\left(30-v_{0}\right)+180-v_{1}=0$$

ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 30-v_{0} សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$-30+v_{0}+180-v_{1}=0$$

បូក -30 និង 180 ដើម្បីបាន 150។

$$150+v_{0}-v_{1}=0$$

ដក 150 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$v_{0}-v_{1}=-150$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,v_{0}-v_{1}=-150$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-263&58\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-263\left(-1\right)-58}&-\frac{58}{-263\left(-1\right)-58}\\-\frac{1}{-263\left(-1\right)-58}&-\frac{263}{-263\left(-1\right)-58}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{205}&-\frac{58}{205}\\-\frac{1}{205}&-\frac{263}{205}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-870\\-150\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{205}\left(-870\right)-\frac{58}{205}\left(-150\right)\\-\frac{1}{205}\left(-870\right)-\frac{263}{205}\left(-150\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}v_{0}\\v_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1914}{41}\\\frac{8064}{41}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស v_{0} និង v_{1}។

$$v_{0}=\frac{1914}{41},v_{1}=\frac{8064}{41}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ គុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរនឹង 1740 ផលគុណរួមតូចបំផុតនៃ 60,30,29។

$$29\left(30-v_{0}\right)+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 29 នឹង 30-v_{0}។

$$870-29v_{0}+58\left(v_{1}-3v_{0}\right)-60v_{0}=0$$

ប្រើលក្ខណៈបំបែក​ដើម្បីគុណ 58 នឹង v_{1}-3v_{0}។

$$870-29v_{0}+58v_{1}-174v_{0}-60v_{0}=0$$

បន្សំ -29v_{0} និង -174v_{0} ដើម្បីបាន -203v_{0}។

$$870-203v_{0}+58v_{1}-60v_{0}=0$$

បន្សំ -203v_{0} និង -60v_{0} ដើម្បីបាន -263v_{0}។

$$870-263v_{0}+58v_{1}=0$$

ដក 870 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ធ្វើប្រមាណវិធីគុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ 60។

$$-\left(30-v_{0}\right)+180-v_{1}=0$$

ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 30-v_{0} សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$-30+v_{0}+180-v_{1}=0$$

បូក -30 និង 180 ដើម្បីបាន 150។

$$150+v_{0}-v_{1}=0$$

ដក 150 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$v_{0}-v_{1}=-150$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,v_{0}-v_{1}=-150$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ -263v_{0} និង v_{0} ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ -263។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,-263v_{0}-263\left(-1\right)v_{1}=-263\left(-150\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-263v_{0}+58v_{1}=-870,-263v_{0}+263v_{1}=39450$$

ដក -263v_{0}+263v_{1}=39450 ពី -263v_{0}+58v_{1}=-870 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-263v_{0}+263v_{0}+58v_{1}-263v_{1}=-870-39450$$

បូក -263v_{0} ជាមួយ 263v_{0}។ ការលុបតួ -263v_{0} និង 263v_{0} បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$58v_{1}-263v_{1}=-870-39450$$

បូក 58v_{1} ជាមួយ -263v_{1}។

$$-205v_{1}=-870-39450$$

បូក -870 ជាមួយ -39450។

$$-205v_{1}=-40320$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -205។

$$v_{1}=\frac{8064}{41}$$

ជំនួស \frac{8064}{41} សម្រាប់ v_{1} ក្នុង v_{0}-v_{1}=-150។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ v_{0} ដោយផ្ទាល់។

$$v_{0}-\frac{8064}{41}=-150$$

បូក \frac{8064}{41} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$v_{0}=\frac{1914}{41}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$v_{0}=\frac{1914}{41},v_{1}=\frac{8064}{41}$$