ដោះស្រាយ {l}{3/4x+4/9y=100}{5/6x+7/9y=90}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 4 } { 9 } y = 100 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x + \frac { 7 } { 9 } y = 90 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{4080}{23} = 177\frac{9}{23} \approx 177.391304348$$

$$y = -\frac{1710}{23} = -74\frac{8}{23} \approx -74.347826087$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100,\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100$$

ដក \frac{4y}{9} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{3}{4}x=-\frac{4}{9}y+100$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{3}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$x=\frac{4}{3}\left(-\frac{4}{9}y+100\right)$$

គុណ \frac{4}{3} ដង -\frac{4y}{9}+100។

$$x=-\frac{16}{27}y+\frac{400}{3}$$

ជំនួស -\frac{16y}{27}+\frac{400}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត \frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90។

$$\frac{5}{6}\left(-\frac{16}{27}y+\frac{400}{3}\right)+\frac{7}{9}y=90$$

គុណ \frac{5}{6} ដង -\frac{16y}{27}+\frac{400}{3}។

$$-\frac{40}{81}y+\frac{1000}{9}+\frac{7}{9}y=90$$

បូក -\frac{40y}{81} ជាមួយ \frac{7y}{9}។

$$\frac{23}{81}y+\frac{1000}{9}=90$$

ដក \frac{1000}{9} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{23}{81}y=-\frac{190}{9}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{23}{81} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{1710}{23}$$

ជំនួស -\frac{1710}{23} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{16}{27}y+\frac{400}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{16}{27}\left(-\frac{1710}{23}\right)+\frac{400}{3}$$

គុណ -\frac{16}{27} ដង -\frac{1710}{23} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{3040}{69}+\frac{400}{3}$$

បូក \frac{400}{3} ជាមួយ \frac{3040}{69} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{4080}{23}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{4080}{23},y=-\frac{1710}{23}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100,\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{4}{9}\\\frac{5}{6}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{7}{9}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}&-\frac{\frac{4}{9}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}&\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}-\frac{4}{9}\times \frac{5}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{23}&-\frac{48}{23}\\-\frac{90}{23}&\frac{81}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\90\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{23}\times 100-\frac{48}{23}\times 90\\-\frac{90}{23}\times 100+\frac{81}{23}\times 90\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4080}{23}\\-\frac{1710}{23}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{4080}{23},y=-\frac{1710}{23}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{9}y=100,\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ \frac{3x}{4} និង \frac{5x}{6} ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ \frac{5}{6} និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ \frac{3}{4}។

$$\frac{5}{6}\times \frac{3}{4}x+\frac{5}{6}\times \frac{4}{9}y=\frac{5}{6}\times 100,\frac{3}{4}\times \frac{5}{6}x+\frac{3}{4}\times \frac{7}{9}y=\frac{3}{4}\times 90$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$\frac{5}{8}x+\frac{10}{27}y=\frac{250}{3},\frac{5}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{135}{2}$$

ដក \frac{5}{8}x+\frac{7}{12}y=\frac{135}{2} ពី \frac{5}{8}x+\frac{10}{27}y=\frac{250}{3} ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\frac{5}{8}x-\frac{5}{8}x+\frac{10}{27}y-\frac{7}{12}y=\frac{250}{3}-\frac{135}{2}$$

បូក \frac{5x}{8} ជាមួយ -\frac{5x}{8}។ ការលុបតួ \frac{5x}{8} និង -\frac{5x}{8} បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\frac{10}{27}y-\frac{7}{12}y=\frac{250}{3}-\frac{135}{2}$$

បូក \frac{10y}{27} ជាមួយ -\frac{7y}{12}។

$$-\frac{23}{108}y=\frac{250}{3}-\frac{135}{2}$$

បូក \frac{250}{3} ជាមួយ -\frac{135}{2} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$-\frac{23}{108}y=\frac{95}{6}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{23}{108} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=-\frac{1710}{23}$$

ជំនួស -\frac{1710}{23} សម្រាប់ y ក្នុង \frac{5}{6}x+\frac{7}{9}y=90។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$\frac{5}{6}x+\frac{7}{9}\left(-\frac{1710}{23}\right)=90$$

គុណ \frac{7}{9} ដង -\frac{1710}{23} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$\frac{5}{6}x-\frac{1330}{23}=90$$

បូក \frac{1330}{23} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{5}{6}x=\frac{3400}{23}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{5}{6} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$x=\frac{4080}{23}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{4080}{23},y=-\frac{1710}{23}$$