ដោះស្រាយ {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ u ដោយការញែក u នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$u-30v=-65$$

បូក 30v ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$u=30v-65$$

ជំនួស 30v-65 សម្រាប់ u នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -3u+80v=165។

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

គុណ -3 ដង 30v-65។

$$-90v+195+80v=165$$

បូក -90v ជាមួយ 80v។

$$-10v+195=165$$

ដក 195 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-10v=-30$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -10។

$$v=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ v ក្នុង u=30v-65។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ u ដោយផ្ទាល់។

$$u=30\times 3-65$$

គុណ 30 ដង 3។

$$u=90-65$$

បូក -65 ជាមួយ 90។

$$u=25$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$u=25,v=3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស u និង v។

$$u=25,v=3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ u និង -3u ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 1។

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

ដក -3u+80v=165 ពី -3u+90v=195 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

បូក -3u ជាមួយ 3u។ ការលុបតួ -3u និង 3u បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$90v-80v=195-165$$

បូក 90v ជាមួយ -80v។

$$10v=195-165$$

បូក 195 ជាមួយ -165។

$$10v=30$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 10។

$$v=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ v ក្នុង -3u+80v=165។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ u ដោយផ្ទាល់។

$$-3u+80\times 3=165$$

គុណ 80 ដង 3។

$$-3u+240=165$$

ដក 240 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-3u=-75$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -3។

$$u=25$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$u=25,v=3$$