ដោះស្រាយ {r}{4x+3y=5}{-x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 5 } \\ { - x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+3y=5,-x+2y=7$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+3y=5$$

ដក 3y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-3y+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+5\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -3y+5។

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

ជំនួស \frac{-3y+5}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -x+2y=7។

$$-\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}\right)+2y=7$$

គុណ -1 ដង \frac{-3y+5}{4}។

$$\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+2y=7$$

បូក \frac{3y}{4} ជាមួយ 2y។

$$\frac{11}{4}y-\frac{5}{4}=7$$

បូក \frac{5}{4} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{11}{4}y=\frac{33}{4}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{11}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

គុណ -\frac{3}{4} ដង 3។

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

បូក \frac{5}{4} ជាមួយ -\frac{9}{4} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=-1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-1,y=3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+3y=5,-x+2y=7$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{4\times 2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 2-3\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 5-\frac{3}{11}\times 7\\\frac{1}{11}\times 5+\frac{4}{11}\times 7\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-1,y=3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+3y=5,-x+2y=7$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង -x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -1 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$-4x-3y=-5,4\left(-1\right)x+4\times 2y=4\times 7$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-4x-3y=-5,-4x+8y=28$$

ដក -4x+8y=28 ពី -4x-3y=-5 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-4x+4x-3y-8y=-5-28$$

បូក -4x ជាមួយ 4x។ ការលុបតួ -4x និង 4x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-3y-8y=-5-28$$

បូក -3y ជាមួយ -8y។

$$-11y=-5-28$$

បូក -5 ជាមួយ -28។

$$-11y=-33$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -11។

$$y=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ y ក្នុង -x+2y=7។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-x+2\times 3=7$$

គុណ 2 ដង 3។

$$-x+6=7$$

ដក 6 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-x=1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -1។

$$x=-1$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-1,y=3$$