ដោះស្រាយ {l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

ជំហានដោយការប្រើរូបមន្ដជំនួស និងកាដ្រាទីក

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក kx ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$y-kx=b$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ធ្វើប្រមាណវិធីគុណជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ 4។

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

ដោះស្រាយ y+\left(-k\right)x=b សម្រាប់ y ដោយញែក y នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$y+\left(-k\right)x=b$$

ដក \left(-k\right)x ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$y=kx+b$$

ជំនួស kx+b សម្រាប់ y នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x^{2}+4y^{2}=4។

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

ការ៉េ kx+b។

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

គុណ 4 ដង k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}។

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

បូក x^{2} ជាមួយ 4k^{2}x^{2}។

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

ដក 4 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

សមីការរនេះមានទម្រង់ស្ដង់ដារ៖ ax^{2}+bx+c=0។ ជំនួស 1+4k^{2} សម្រាប់ a, 4\times 2kb សម្រាប់ b និង -4+4b^{2} សម្រាប់ c នៅក្នុងរូបមន្តកាដ្រាទីក, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

ការ៉េ 4\times 2kb។

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

គុណ -4 ដង 1+4k^{2}។

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

គុណ -4-16k^{2} ដង -4+4b^{2}។

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

បូក 64k^{2}b^{2} ជាមួយ -16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right)។

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

យកឬសការ៉េនៃ -16b^{2}+64k^{2}+16។

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

គុណ 2 ដង 1+4k^{2}។

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាបូក។ បូក -8kb ជាមួយ 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}។

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

ចែក -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} នឹង 2+8k^{2}។

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាដក។ ដក 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} ពី -8kb។

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

ចែក -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1} នឹង 2+8k^{2}។

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

មានចម្លើយពីរសម្រាប់ x៖ \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} និង -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}។ ជំនួស \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរ y=kx+b ដើម្បីរកចម្លើយត្រូវគ្នាសម្រាប់ y ដែលព្រមទទួលយកសមីការរទាំងពីរ។

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

គុណ k ដង \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}។

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

ឥឡូវជំនួស -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរ y=kx+b និងដោះស្រាយដើម្បីរកចម្លើយត្រូវគ្នាសម្រាប់ y ដែលព្រមទទួលយក​សមីការរទាំងពីរ។

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

គុណ k ដង -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}។

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$