ដោះស្រាយ {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

ជំហានដោយការប្រើរូបមន្ដជំនួស និងកាដ្រាទីក

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីមួយ។ ដក x ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$ty+2-x=0$$

ដក 2 ពីជ្រុងទាំងពីរ។ អ្វីមួយដកសូន្យបានលទ្ធផលបដិសេធខ្លួនឯង។

$$ty-x=-2$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

ដោះស្រាយ ty-x=-2 សម្រាប់ y ដោយញែក y នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$ty-x=-2$$

ដក -x ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ty=x-2$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង t។

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

ជំនួស \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} សម្រាប់ y នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត x^{2}+4y^{2}=4។

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

ការ៉េ \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}។

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

គុណ 4 ដង \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}។

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

បូក x^{2} ជាមួយ 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}។

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

ដក 4 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

សមីការរនេះមានទម្រង់ស្ដង់ដារ៖ ax^{2}+bx+c=0។ ជំនួស 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} សម្រាប់ a, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) សម្រាប់ b និង \frac{16}{t^{2}}-4 សម្រាប់ c នៅក្នុងរូបមន្តកាដ្រាទីក, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}។

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

ការ៉េ 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)។

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

គុណ -4 ដង 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}។

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

គុណ -4-\frac{16}{t^{2}} ដង \frac{16}{t^{2}}-4។

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

បូក \frac{256}{t^{4}} ជាមួយ -\frac{256}{t^{4}}+16។

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

យកឬសការ៉េនៃ 16។

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

គុណ 2 ដង 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}។

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាបូក។ បូក \frac{16}{t^{2}} ជាមួយ 4។

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ចែក 4+\frac{16}{t^{2}} នឹង 2+\frac{8}{t^{2}}។

$$x=2$$

ឥឡូវដោះស្រាយសមីការរ x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} នៅពេល ± គឺជាសញ្ញាដក។ ដក 4 ពី \frac{16}{t^{2}}។

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ចែក \frac{16}{t^{2}}-4 នឹង 2+\frac{8}{t^{2}}។

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

មានចម្លើយពីរសម្រាប់ x៖ 2 និង -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}។ ជំនួស 2 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរ y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} ដើម្បីរកចម្លើយត្រូវគ្នាសម្រាប់ y ដែលព្រមទទួលយកសមីការរទាំងពីរ។

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

គុណ \frac{1}{t} ដង 2។

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

ឥឡូវជំនួស -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរ y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} និងដោះស្រាយដើម្បីរកចម្លើយត្រូវគ្នាសម្រាប់ y ដែលព្រមទទួលយក​សមីការរទាំងពីរ។

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

គុណ \frac{1}{t} ដង -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}។

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$