ដោះស្រាយ {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

ដក 8 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

បូក by ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ax=by-8$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង a។

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

គុណ \frac{1}{a} ដង by-8។

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

ជំនួស \frac{by-8}{a} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត bx+ay+1=0។

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

គុណ b ដង \frac{by-8}{a}។

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

បូក \frac{b^{2}y}{a} ជាមួយ ay។

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

បូក -\frac{8b}{a} ជាមួយ 1។

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

ដក \frac{a-8b}{a} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង a+\frac{b^{2}}{a}។

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំនួស \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

គុណ \frac{b}{a} ដង \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}។

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

បូក -\frac{8}{a} ជាមួយ \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ម៉ាទ្រីសច្រាសគឺជា \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ ax និង bx ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ b និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ a។

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

ដក abx+a^{2}y+a=0 ពី abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

បូក bax ជាមួយ -bax។ ការលុបតួ bax និង -bax បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

បូក -b^{2}y ជាមួយ -a^{2}y។

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

ដក 8b-a ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -b^{2}-a^{2}។

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំនួស -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង bx+ay+1=0។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

គុណ a ដង -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}។

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

បូក -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ជាមួយ 1។

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

ដក \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង b។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

ដក 8 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

បូក by ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ax=by-8$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង a។

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

គុណ \frac{1}{a} ដង by-8។

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

ជំនួស \frac{by-8}{a} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត bx+ay+1=0។

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

គុណ b ដង \frac{by-8}{a}។

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

បូក \frac{b^{2}y}{a} ជាមួយ ay។

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

បូក -\frac{8b}{a} ជាមួយ 1។

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

ដក \frac{a-8b}{a} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង a+\frac{b^{2}}{a}។

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំនួស \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

គុណ \frac{b}{a} ដង \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}។

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

បូក -\frac{8}{a} ជាមួយ \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) ម៉ាទ្រីសច្រាសគឺជា \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ ax និង bx ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ b និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ a។

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

ដក abx+a^{2}y+a=0 ពី abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

បូក bax ជាមួយ -bax។ ការលុបតួ bax និង -bax បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

បូក -b^{2}y ជាមួយ -a^{2}y។

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

ដក 8b-a ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -b^{2}-a^{2}។

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

ជំនួស -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង bx+ay+1=0។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

គុណ a ដង -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}។

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

បូក -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} ជាមួយ 1។

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

ដក \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង b។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$