ដោះស្រាយ {l}{9x+y=31}{5x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + y = 31 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right\}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$9x+y=31,5x-y=11$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$9x+y=31$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$9x=-y+31$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 9។

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+31\right)$$

គុណ \frac{1}{9} ដង -y+31។

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}$$

ជំនួស \frac{-y+31}{9} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 5x-y=11។

$$5\left(-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}\right)-y=11$$

គុណ 5 ដង \frac{-y+31}{9}។

$$-\frac{5}{9}y+\frac{155}{9}-y=11$$

បូក -\frac{5y}{9} ជាមួយ -y។

$$-\frac{14}{9}y+\frac{155}{9}=11$$

ដក \frac{155}{9} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{56}{9}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{14}{9} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=4$$

ជំនួស 4 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{9}\times 4+\frac{31}{9}$$

គុណ -\frac{1}{9} ដង 4។

$$x=\frac{-4+31}{9}$$

បូក \frac{31}{9} ជាមួយ -\frac{4}{9} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=4$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$9x+y=31,5x-y=11$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{9\left(-1\right)-5}&\frac{9}{9\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{5}{14}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 31+\frac{1}{14}\times 11\\\frac{5}{14}\times 31-\frac{9}{14}\times 11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=3,y=4$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$9x+y=31,5x-y=11$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 9x និង 5x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 5 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 9។

$$5\times 9x+5y=5\times 31,9\times 5x+9\left(-1\right)y=9\times 11$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$45x+5y=155,45x-9y=99$$

ដក 45x-9y=99 ពី 45x+5y=155 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$45x-45x+5y+9y=155-99$$

បូក 45x ជាមួយ -45x។ ការលុបតួ 45x និង -45x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$5y+9y=155-99$$

បូក 5y ជាមួយ 9y។

$$14y=155-99$$

បូក 155 ជាមួយ -99។

$$14y=56$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 14។

$$y=4$$

ជំនួស 4 សម្រាប់ y ក្នុង 5x-y=11។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$5x-4=11$$

បូក 4 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=4$$