ដោះស្រាយ {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ u ដោយការញែក u នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6u+4v=5$$

ដក 4v ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$6u=-4v+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 6។

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

គុណ \frac{1}{6} ដង -4v+5។

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

ជំនួស -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} សម្រាប់ u នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 9u-8v=4។

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

គុណ 9 ដង -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}។

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

បូក -6v ជាមួយ -8v។

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

ដក \frac{15}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -14។

$$v=\frac{1}{4}$$

ជំនួស \frac{1}{4} សម្រាប់ v ក្នុង u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ u ដោយផ្ទាល់។

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

គុណ -\frac{2}{3} ដង \frac{1}{4} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

បូក \frac{5}{6} ជាមួយ -\frac{1}{6} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$u=\frac{2}{3}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស u និង v។

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 6u និង 9u ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 9 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 6។

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

ដក 54u-48v=24 ពី 54u+36v=45 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

បូក 54u ជាមួយ -54u។ ការលុបតួ 54u និង -54u បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$36v+48v=45-24$$

បូក 36v ជាមួយ 48v។

$$84v=45-24$$

បូក 45 ជាមួយ -24។

$$84v=21$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 84។

$$v=\frac{1}{4}$$

ជំនួស \frac{1}{4} សម្រាប់ v ក្នុង 9u-8v=4។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ u ដោយផ្ទាល់។

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

គុណ -8 ដង \frac{1}{4}។

$$9u-2=4$$

បូក 2 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$9u=6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 9។

$$u=\frac{2}{3}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$