ដោះស្រាយ {l}{5x-y=13}{2x+3y=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 13 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x-y=13$$

បូក y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=y+13$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(y+13\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង y+13។

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

ជំនួស \frac{13+y}{5} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+3y=12។

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)+3y=12$$

គុណ 2 ដង \frac{13+y}{5}។

$$\frac{2}{5}y+\frac{26}{5}+3y=12$$

បូក \frac{2y}{5} ជាមួយ 3y។

$$\frac{17}{5}y+\frac{26}{5}=12$$

ដក \frac{26}{5} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{17}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{5}\times 2+\frac{13}{5}$$

គុណ \frac{1}{5} ដង 2។

$$x=\frac{2+13}{5}$$

បូក \frac{13}{5} ជាមួយ \frac{2}{5} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 13+\frac{1}{17}\times 12\\-\frac{2}{17}\times 13+\frac{5}{17}\times 12\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=3,y=2$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 13,5\times 2x+5\times 3y=5\times 12$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$10x-2y=26,10x+15y=60$$

ដក 10x+15y=60 ពី 10x-2y=26 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$10x-10x-2y-15y=26-60$$

បូក 10x ជាមួយ -10x។ ការលុបតួ 10x និង -10x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-2y-15y=26-60$$

បូក -2y ជាមួយ -15y។

$$-17y=26-60$$

បូក 26 ជាមួយ -60។

$$-17y=-34$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -17។

$$y=2$$

ជំនួស 2 សម្រាប់ y ក្នុង 2x+3y=12។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x+3\times 2=12$$

គុណ 3 ដង 2។

$$2x+6=12$$

ដក 6 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=2$$