ដោះស្រាយ {l}{5x-3y=16}{3x+5y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 16 } \\ { 3 x + 5 y = 30 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-3y=16,3x+5y=30$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x-3y=16$$

បូក 3y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=3y+16$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+16\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង 3y+16។

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{16}{5}$$

ជំនួស \frac{3y+16}{5} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x+5y=30។

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{16}{5}\right)+5y=30$$

គុណ 3 ដង \frac{3y+16}{5}។

$$\frac{9}{5}y+\frac{48}{5}+5y=30$$

បូក \frac{9y}{5} ជាមួយ 5y។

$$\frac{34}{5}y+\frac{48}{5}=30$$

ដក \frac{48}{5} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{34}{5}y=\frac{102}{5}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{34}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{3}{5}y+\frac{16}{5}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{3}{5}\times 3+\frac{16}{5}$$

គុណ \frac{3}{5} ដង 3។

$$x=\frac{9+16}{5}$$

បូក \frac{16}{5} ជាមួយ \frac{9}{5} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x-3y=16,3x+5y=30$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\30\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\30\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\30\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\30\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\30\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\\-\frac{3}{34}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\30\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 16+\frac{3}{34}\times 30\\-\frac{3}{34}\times 16+\frac{5}{34}\times 30\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=5,y=3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x-3y=16,3x+5y=30$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 16,5\times 3x+5\times 5y=5\times 30$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$15x-9y=48,15x+25y=150$$

ដក 15x+25y=150 ពី 15x-9y=48 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$15x-15x-9y-25y=48-150$$

បូក 15x ជាមួយ -15x។ ការលុបតួ 15x និង -15x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-9y-25y=48-150$$

បូក -9y ជាមួយ -25y។

$$-34y=48-150$$

បូក 48 ជាមួយ -150។

$$-34y=-102$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -34។

$$y=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ y ក្នុង 3x+5y=30។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x+5\times 3=30$$

គុណ 5 ដង 3។

$$3x+15=30$$

ដក 15 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=15$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=5$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=5,y=3$$