ដោះស្រាយ {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 2x+4y សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$1020=2060-2x-4y$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$2060-2x-4y=1020$$

ដក 2060 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-2x-4y=1020-2060$$

ដក​ 2060 ពី 1020 ដើម្បីបាន -1040។

$$-2x-4y=-1040$$

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$5x+7y=2060$$

ដក 7y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$5x=-7y+2060$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

គុណ \frac{1}{5} ដង -7y+2060។

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

ជំនួស -\frac{7y}{5}+412 សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -2x-4y=-1040។

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

គុណ -2 ដង -\frac{7y}{5}+412។

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

បូក \frac{14y}{5} ជាមួយ -4y។

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

បូក 824 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{6}{5} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=180$$

ជំនួស 180 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{7}{5}y+412។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

គុណ -\frac{7}{5} ដង 180។

$$x=-252+412$$

បូក 412 ជាមួយ -252។

$$x=160$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=160,y=180$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 2x+4y សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$1020=2060-2x-4y$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$2060-2x-4y=1020$$

ដក 2060 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-2x-4y=1020-2060$$

ដក​ 2060 ពី 1020 ដើម្បីបាន -1040។

$$-2x-4y=-1040$$

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=160,y=180$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ផ្ទៀងផ្ទាត់សមីការរទីពីរ។ ដើម្បីរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃ 2x+4y សូមរកមើលពាក្យផ្ទុយនៃពាក្យនីមួយៗ។

$$1020=2060-2x-4y$$

ប្ដូរផ្នែកទាំងពីរ ដើម្បីឲ្យតួអថេរទាំងអស់ស្ថិតនៅផ្នែកខាងឆ្វេង។

$$2060-2x-4y=1020$$

ដក 2060 ពីជ្រុងទាំងពីរ។

$$-2x-4y=1020-2060$$

ដក​ 2060 ពី 1020 ដើម្បីបាន -1040។

$$-2x-4y=-1040$$

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 5x និង -2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 5។

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

ដក -10x-20y=-5200 ពី -10x-14y=-4120 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

បូក -10x ជាមួយ 10x។ ការលុបតួ -10x និង 10x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-14y+20y=-4120+5200$$

បូក -14y ជាមួយ 20y។

$$6y=-4120+5200$$

បូក -4120 ជាមួយ 5200។

$$6y=1080$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 6។

$$y=180$$

ជំនួស 180 សម្រាប់ y ក្នុង -2x-4y=-1040។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-2x-4\times 180=-1040$$

គុណ -4 ដង 180។

$$-2x-720=-1040$$

បូក 720 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-2x=-320$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -2។

$$x=160$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=160,y=180$$