ដោះស្រាយ {l}{4x-y=5}{2x+3y=27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 5 } \\ { 2 x + 3 y = 27 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=3$$

$$y=7$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x-y=5,2x+3y=27$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x-y=5$$

បូក y ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=y+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង y+5។

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

ជំនួស \frac{5+y}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x+3y=27។

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+3y=27$$

គុណ 2 ដង \frac{5+y}{4}។

$$\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+3y=27$$

បូក \frac{y}{2} ជាមួយ 3y។

$$\frac{7}{2}y+\frac{5}{2}=27$$

ដក \frac{5}{2} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{7}{2}y=\frac{49}{2}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{7}{2} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=7$$

ជំនួស 7 សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{1}{4}\times 7+\frac{5}{4}$$

គុណ \frac{1}{4} ដង 7។

$$x=\frac{7+5}{4}$$

បូក \frac{5}{4} ជាមួយ \frac{7}{4} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=7$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x-y=5,2x+3y=27$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 5+\frac{1}{14}\times 27\\-\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\times 27\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=3,y=7$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x-y=5,2x+3y=27$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 5,4\times 2x+4\times 3y=4\times 27$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$8x-2y=10,8x+12y=108$$

ដក 8x+12y=108 ពី 8x-2y=10 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$8x-8x-2y-12y=10-108$$

បូក 8x ជាមួយ -8x។ ការលុបតួ 8x និង -8x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-2y-12y=10-108$$

បូក -2y ជាមួយ -12y។

$$-14y=10-108$$

បូក 10 ជាមួយ -108។

$$-14y=-98$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -14។

$$y=7$$

ជំនួស 7 សម្រាប់ y ក្នុង 2x+3y=27។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x+3\times 7=27$$

គុណ 3 ដង 7។

$$2x+21=27$$

ដក 21 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=6$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=3$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=3,y=7$$