ដោះស្រាយ {l}{4x-ay-4a=0}{ax-4y+6a=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - a y - 4 a = 0 } \\ { a x - 4 y + 6 a = 0 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y (complex solution)

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$a\neq -4\text{ and }a\neq 4$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

បូក 4a ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

បូក ay ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=ay+4a$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង a\left(4+y\right)។

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

ជំនួស a+\frac{ay}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត ax-4y+6a=0។

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

គុណ a ដង a+\frac{ay}{4}។

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

បូក \frac{a^{2}y}{4} ជាមួយ -4y។

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

បូក a^{2} ជាមួយ 6a។

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

ដក a\left(6+a\right) ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -4+\frac{a^{2}}{4}។

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

ជំនួស -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{a}{4}y+a។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

គុណ \frac{a}{4} ដង -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}។

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

បូក a ជាមួយ -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}។

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង ax ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ a និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

ដក 4ax-16y+24a=0 ពី 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

បូក 4ax ជាមួយ -4ax។ ការលុបតួ 4ax និង -4ax បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

បូក -a^{2}y ជាមួយ 16y។

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

បូក -4a^{2} ជាមួយ -24a។

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

បូក 4a\left(6+a\right) ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -a^{2}+16។

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ជំនួស \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង ax-4y+6a=0។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

គុណ -4 ដង \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}។

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

បូក -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ជាមួយ 6a។

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

បូក \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង a។

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

$$|a|\neq 4$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0$$

បូក 4a ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x+\left(-a\right)y=4a$$

បូក ay ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=ay+4a$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(ay+4a\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង a\left(4+y\right)។

$$x=\frac{a}{4}y+a$$

ជំនួស a+\frac{ay}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត ax-4y+6a=0។

$$a\left(\frac{a}{4}y+a\right)-4y+6a=0$$

គុណ a ដង a+\frac{ay}{4}។

$$\frac{a^{2}}{4}y+a^{2}-4y+6a=0$$

បូក \frac{a^{2}y}{4} ជាមួយ -4y។

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a^{2}+6a=0$$

បូក a^{2} ជាមួយ 6a។

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y+a\left(a+6\right)=0$$

ដក a\left(6+a\right) ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(\frac{a^{2}}{4}-4\right)y=-a\left(a+6\right)$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -4+\frac{a^{2}}{4}។

$$y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

ជំនួស -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16} សម្រាប់ y ក្នុង x=\frac{a}{4}y+a។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=\frac{a}{4}\left(-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\right)+a$$

គុណ \frac{a}{4} ដង -\frac{4a\left(6+a\right)}{a^{2}-16}។

$$x=-\frac{\left(a+6\right)a^{2}}{a^{2}-16}+a$$

បូក a ជាមួយ -\frac{\left(6+a\right)a^{2}}{a^{2}-16}។

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-a\\a&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&-\frac{-a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\\-\frac{a}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-a\right)a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{a^{2}-16}&\frac{a}{a^{2}-16}\\-\frac{a}{a^{2}-16}&\frac{4}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4a\\-6a\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{a}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\\\left(-\frac{a}{a^{2}-16}\right)\times 4a+\frac{4}{a^{2}-16}\left(-6a\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16}\\-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-\frac{2a\left(3a+8\right)}{a^{2}-16},y=-\frac{4a\left(a+6\right)}{a^{2}-16}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+\left(-a\right)y-4a=0,ax-4y+6a=0$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង ax ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ a និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$a\times 4x+a\left(-a\right)y+a\left(-4a\right)=0,4ax+4\left(-4\right)y+4\times 6a=0$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0,4ax-16y+24a=0$$

ដក 4ax-16y+24a=0 ពី 4ax+\left(-a^{2}\right)y-4a^{2}=0 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4ax+\left(-4a\right)x+\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

បូក 4ax ជាមួយ -4ax។ ការលុបតួ 4ax និង -4ax បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$\left(-a^{2}\right)y+16y-4a^{2}-24a=0$$

បូក -a^{2}y ជាមួយ 16y។

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a^{2}-24a=0$$

បូក -4a^{2} ជាមួយ -24a។

$$\left(16-a^{2}\right)y-4a\left(a+6\right)=0$$

បូក 4a\left(6+a\right) ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\left(16-a^{2}\right)y=4a\left(a+6\right)$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -a^{2}+16។

$$y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$

ជំនួស \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} សម្រាប់ y ក្នុង ax-4y+6a=0។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$ax-4\times \frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

គុណ -4 ដង \frac{4a\left(6+a\right)}{16-a^{2}}។

$$ax-\frac{16a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}+6a=0$$

បូក -\frac{16a\left(6+a\right)}{16-a^{2}} ជាមួយ 6a។

$$ax-\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}=0$$

បូក \frac{2\left(8+3a\right)a^{2}}{\left(-a+4\right)\left(a+4\right)} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$ax=\frac{2\left(3a+8\right)a^{2}}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង a។

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{2a\left(3a+8\right)}{\left(4-a\right)\left(a+4\right)},y=\frac{4a\left(a+6\right)}{16-a^{2}}$$