ដោះស្រាយ {l}{4x+y=3}{3x-3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$4x+y=3$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$4x=-y+3$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 4។

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

គុណ \frac{1}{4} ដង -y+3។

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

ជំនួស \frac{-y+3}{4} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 3x-3y=-1។

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

គុណ 3 ដង \frac{-y+3}{4}។

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

បូក -\frac{3y}{4} ជាមួយ -3y។

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

ដក \frac{9}{4} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{15}{4} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{13}{15}$$

ជំនួស \frac{13}{15} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

គុណ -\frac{1}{4} ដង \frac{13}{15} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

បូក \frac{3}{4} ជាមួយ -\frac{13}{60} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{8}{15}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 4x និង 3x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 3 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 4។

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

ដក 12x-12y=-4 ពី 12x+3y=9 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

បូក 12x ជាមួយ -12x។ ការលុបតួ 12x និង -12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$3y+12y=9+4$$

បូក 3y ជាមួយ 12y។

$$15y=9+4$$

បូក 9 ជាមួយ 4។

$$15y=13$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 15។

$$y=\frac{13}{15}$$

ជំនួស \frac{13}{15} សម្រាប់ y ក្នុង 3x-3y=-1។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

គុណ -3 ដង \frac{13}{15}។

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

បូក \frac{13}{5} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=\frac{8}{5}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{8}{15}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$