ដោះស្រាយ {l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ y, x

$$x=3$$

$$y=4$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ y ដោយការញែក y នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3y-7x=-9$$

បូក 7x ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3y=7x-9$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង 7x-9។

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

ជំនួស \frac{7x}{3}-3 សម្រាប់ y នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2y+5x=23។

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

គុណ 2 ដង \frac{7x}{3}-3។

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

បូក \frac{14x}{3} ជាមួយ 5x។

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

បូក 6 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{29}{3}x=29$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ \frac{29}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$x=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ x ក្នុង y=\frac{7}{3}x-3។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ y ដោយផ្ទាល់។

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

គុណ \frac{7}{3} ដង 3។

$$y=7-3$$

បូក -3 ជាមួយ 7។

$$y=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$y=4,x=3$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស y និង x។

$$y=4,x=3$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3y និង 2y ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

ដក 6y+15x=69 ពី 6y-14x=-18 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

បូក 6y ជាមួយ -6y។ ការលុបតួ 6y និង -6y បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-14x-15x=-18-69$$

បូក -14x ជាមួយ -15x។

$$-29x=-18-69$$

បូក -18 ជាមួយ -69។

$$-29x=-87$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -29។

$$x=3$$

ជំនួស 3 សម្រាប់ x ក្នុង 2y+5x=23។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ y ដោយផ្ទាល់។

$$2y+5\times 3=23$$

គុណ 5 ដង 3។

$$2y+15=23$$

ដក 15 ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2y=8$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$y=4$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$y=4,x=3$$