ដោះស្រាយ {l}{3x+y=5}{2x-y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = 3 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+y=5,2x-y=3$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+y=5$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-y+5$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -y+5។

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

ជំនួស \frac{-y+5}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត 2x-y=3។

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-y=3$$

គុណ 2 ដង \frac{-y+5}{3}។

$$-\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y=3$$

បូក -\frac{2y}{3} ជាមួយ -y។

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=3$$

ដក \frac{10}{3} ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-\frac{5}{3}y=-\frac{1}{3}$$

ចែក​ជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរដោយ -\frac{5}{3} ដែលដូចគ្នានឹងការធ្វើប្រមាណវិធីគុណ​ជ្រុងទាំងពីរដោយប្រភាគផ្ទុយគ្នា។

$$y=\frac{1}{5}$$

ជំនួស \frac{1}{5} សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{1}{5}+\frac{5}{3}$$

គុណ -\frac{1}{3} ដង \frac{1}{5} ដោយការគុណភាគយក​ចំនួនដងនៃភាគយក និងភាគបែងចំនួនដងនៃភាគបែង។ បន្ទាប់មកបន្ថយប្រភាគទៅតួទាបបំផុត បើអាចធ្វើបាន។

$$x=-\frac{1}{15}+\frac{5}{3}$$

បូក \frac{5}{3} ជាមួយ -\frac{1}{15} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=\frac{8}{5}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{1}{5}$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+y=5,2x-y=3$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-2}&\frac{3}{3\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 3\\\frac{2}{5}\times 5-\frac{3}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{1}{5}$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+y=5,2x-y=3$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង 2x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ 2 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$2\times 3x+2y=2\times 5,3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 3$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$6x+2y=10,6x-3y=9$$

ដក 6x-3y=9 ពី 6x+2y=10 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$6x-6x+2y+3y=10-9$$

បូក 6x ជាមួយ -6x។ ការលុបតួ 6x និង -6x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$2y+3y=10-9$$

បូក 2y ជាមួយ 3y។

$$5y=10-9$$

បូក 10 ជាមួយ -9។

$$5y=1$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 5។

$$y=\frac{1}{5}$$

ជំនួស \frac{1}{5} សម្រាប់ y ក្នុង 2x-y=3។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$2x-\frac{1}{5}=3$$

បូក \frac{1}{5} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$2x=\frac{16}{5}$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 2។

$$x=\frac{8}{5}$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=\frac{8}{5},y=\frac{1}{5}$$