ដោះស្រាយ {l}{3x+y=11}{-4x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

ដោះស្រាយសម្រាប់ x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

ជំហានដោយការប្រើការជំនួស

ដើម្បីដោះស្រាយគូនៃសមីការដោយការប្រើការ​ជំនួស ដំបូងត្រូវដោះស្រាយសមីការមួយសម្រាប់អថេរមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសលទ្ធផលសម្រាប់អថេរនោះនៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

ជ្រើសរើសសមីការរមួយ ហើយដោះស្រាយសមីការរសម្រាប់ x ដោយការញែក x នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$3x+y=11$$

ដក y ពីជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$3x=-y+11$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង 3។

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

គុណ \frac{1}{3} ដង -y+11។

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

ជំនួស \frac{-y+11}{3} សម្រាប់ x នៅក្នុងសមីការរផ្សេងទៀត -4x-y=11។

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

គុណ -4 ដង \frac{-y+11}{3}។

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

បូក \frac{4y}{3} ជាមួយ -y។

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

បូក \frac{44}{3} ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

គុណជ្រុងទាំងពីរនឹង 3។

$$y=77$$

ជំនួស 77 សម្រាប់ y ក្នុង x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

គុណ -\frac{1}{3} ដង 77។

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

បូក \frac{11}{3} ជាមួយ -\frac{77}{3} ដោយការរកភាគបែងរួម និងបូកភាគយក។ បន្ទាប់មក​បន្ថយប្រភាគទៅតួតូចបំផុតបើអាចធ្វើបាន។

$$x=-22$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-22,y=77$$

ជំហានដោយការប្រើម៉ាទ្រីស

ដាក់សមីការនៅក្នុងទម្រង់ស្ដង់ដារ បន្ទាប់មក​ប្រើម៉ាទ្រីសដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ។

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

សរសេរសមីការជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ការគុណសមីការរខាងឆ្វេងតាមម៉ាទ្រីសច្រាសនៃ \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)។

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងចម្រាសរបស់វាគឺជាម៉ាទ្រីសឯកតា។

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

គុណ​ម៉ាទ្រីស​នៅខាងឆ្វេងនៃសញ្ញាស្មើ។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ដូច្នេះសមីការរម៉ាទ្រីសអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញជាចំណោទផលគុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

គុណម៉ាទ្រីស។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

ធ្វើនព្វន្ត។

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

ទាញយកធាតុម៉ាទ្រីស x និង y។

$$x=-22,y=77$$

ជំហានដោយការប្រើការបំបាត់

ដើម្បី​ដោះស្រាយដោយការ សម្រួល មេគុណមួយនៃអថេរត្រូវតែដូចគ្នានៅក្នុងសមីការទាំងពីរដូច្នេះអថេរនឹងលុបចេញនៅពេលសមីការមួយត្រូវបានដកពីសមីការផ្សេងទៀត។

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

ដើម្បីធ្វើឲ្យ 3x និង -4x ស្មើគ្នា ត្រូវគុណតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីមួយដោយ -4 និងតួទាំងអស់នៅលើជ្រុងនីមួយៗនៃសមីការរទីពីដោយ 3។

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

ផ្ទៀងផ្ទាត់។

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

ដក -12x-3y=33 ពី -12x-4y=-44 ដោយការដក​តួដូចគ្នានៅលើជ្រុងម្ខាងទៀតនៃសញ្ញាស្មើ។

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

បូក -12x ជាមួយ 12x។ ការលុបតួ -12x និង 12x បន្សល់នូវសមីការរដែលមានចំនួនអថេរតែមួយគត់ដែលអាចដោះស្រាយបាន។

$$-4y+3y=-44-33$$

បូក -4y ជាមួយ 3y។

$$-y=-44-33$$

បូក -44 ជាមួយ -33។

$$-y=-77$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -1។

$$y=77$$

ជំនួស 77 សម្រាប់ y ក្នុង -4x-y=11។ ពីព្រោះលទ្ធផលសមីការរមានអថេរតែមួយដែលអ្នកអាចដោះស្រាយសម្រាប់ x ដោយផ្ទាល់។

$$-4x-77=11$$

បូក 77 ជាមួយជ្រុងទាំងពីរនៃសមីការរ។

$$-4x=88$$

ចែកជ្រុងទាំងពីនឹង -4។

$$x=-22$$

ប្រព័ន្ធឥឡូវនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។

$$x=-22,y=77$$